徳島県教員採用試験の問題【2021年中高共通第1問】

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今回の問題

今週は2021年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文（記述式）

$x+y+z=6,\ xy+yz+zx=8,\ xyz=5$ を満たすとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ の値を求めなさい。

(2) $\displaystyle \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

3文字の対称式の値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

基本対称式の値を確認する

「すべての対称式は基本対称式で表すことができる」という定理（対称式の基本定理）がありますので、これを使って対称式の値を求めます。3文字の場合の基本対称式は

$x+y+z,\ xy+yz+zx,\ xyz$

の3種類です。今回の問題ではこれらの基本対称式の値が与えられていますので、対称式を基本対称式を用いて表していきます。

$x^{2}+y^{2}+z^{2}$ の値

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)$

と表すことができますので、与えられた値を代入して計算していくと

$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+z^{2}&=&(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)\\ &=&6^{2}-2\times 8\\ &=&36-16\\ &=&20\end{eqnarray*}$

のようになります。

$\displaystyle \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}$ の値

$\displaystyle \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{x^{2}y^{2}z^{2}$

と表すことができます。この式も対称式ですので、基本対称式で表すと

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}&=&\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{x^{2}y^{2}z^{2}}\\ &=&\frac{(xy+yz+zx)^{2}-2xyz(x+y+z)}{(xyz)^{2}}\\ &=&\frac{8^{2}-2\times 5\times 6}{5^{2}}\\ &=&\frac{64-60}{25}\\ &=&\frac{4}{25}$