徳島県教員採用試験の問題【2000年第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2008年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回はネタ切れのため、2000年実施の第1問です。

今回の問題の原文

$a+b=2,\ ab=1$ のとき $\displaystyle \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

対称式の値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

求める式の値を通分してみると

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}&=&\frac{b^{2}+1+a^{2}+1}{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}\\ &=&\frac{a^{2}+b^{2}+2}{a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1}\end{eqnarray*}$

となりますので、 $a^{2}+b^{2}$ の値さえ求めれば、この値を求めることができます。 $a^{2}+b^{2}$ は対称式ですので、基本対象式の値がわかれば求められますが、 $a+b=2,\ ab=1$ であることから

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}&=&(a+b)^{2}-2ab\\ &=&2^{2}-2\times 1\\ &=&4-2\\ &=&2\end{eqnarray*}$

となります。したがって $\displaystyle \frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}=1$ となります。

いかがだったでしょうか？

対称式の性質を知っていれば難なく解ける問題でした。

対称式に関する定理として「すべての対称式は基本対称式を用いて表すことができる」というものがあります。

このことを用いて計算をすることが対称式に関する解法になります。

式変形に関しては慣れない部分が多いと思いますが、このあたりは訓練が必要かもしれません。

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