共通テスト前の確認数学Ⅱ＋B編まとめ - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は共通テスト前の確認です。

今回は数学Ⅱ＋Bのまとめです。

今回の問題の原文

(1) $a$ を定数とする。放物線

$y=x^{2}-2ax+2a^{2}-4a$

が $x$ 軸と異なる2つの交点を持つとき、その交点と放物線の頂点でできる三角形の面積の2乗の最大値を求めよ。

(2) $y=8^{x}-3\cdot 2^{x}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

(3) $\vec{a}=(1,3,-2),\ \vec{b}=(1,-2,0)$ とする。このとき、 $|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値とそのときの $t$ の値を求めよ。

(4)実数 $a,\ b$ が

$a^{2}+b^{2}=16,\ a^{3}+b^{3}=44$

を満たしている。 $a_{n}=a^{n}+b_{n}$ とおくとき、 $n$ が2以上の自然数であるとき $a_{n}$ は4で割り切れることを示せ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

数学Ⅱと数学Bのまとめ問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)扱っている関数が2次関数ですので、平方完成をして頂点を求めます。

$y=(x-a)^{2}+a^{2}-4a$

となりますので、頂点は $(a,a^{2}-4a)$ となります。この頂点は放物線 $y=x^{2}-4x$ 上にあります。

放物線 $y=x^{2}-2ax+2a^{2}-4a$ と $x$ 軸が異なる2点で交わる条件は、方程式 $x^{2}-2ax+2a^{2}-4a=0$ の判別式を $D$ とすると

$D/4=-a^{2}+4a$

ですので、 $-a^{2}+4a/gt 0$ となります。この不等式を解くと $0\lt a\lt 4$ です。 $a$ がこの範囲にあるとき、放物線と $x$ 軸との交点と頂点でできる三角形の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times \sqrt{-a^{2}+4a}\times (-a^{2}+4a)=(-a^{2}+4a)^{\frac{3}{2}}$

となります。三角形の面積の2乗の最大値は、 $-a^{2}+4a=-(a-2)^{2}+4$ ですので、 $a=2$ のとき $64$ となります。

(2) $2^{x}=t$ とおくと $y=t^{3}-3t$ となります。また、 $t$ の取りうる値の範囲は $t\gt 0$ です。

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=3t^{2}-3$

ですので、 $y$ の増減は次のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c}\hline t&0&\cdots &1&\cdots \\ \hline \displaystyle \frac{dy}{dt}&\ &-&o&+\\ \hline y&\ &\searrow &2&\nearrow \\ \hline \end{array}$

したがって、 $t=1$ すなわち $x=0$ のとき最小値 $2$ をとります。

(3) $\vec{a}=(1,3,-2),\ \vec{b}=(1,-2,0)$ より

$|\vec{a}|^{2}=14,\ |\vec{b}|^{2}=5,\ \vec{a}\cdot \vec{b}=-5$

ですので

$|\vec{a}+t\vec{b}|=5t^{2}+10t+14$

となります。これは $t$ の2次関数ですので、平方完成をして最小値を求めます。求めるのは $|\vec{a}+t\vec{b}|$ の最小値ですので、これを求めると $t=1$ のとき最小値 $3$ をとります。

(4)どの文字を入れ替えても値が変わらない式を対称式といいます。そのうちの $a+b$ と $ab$ を基本対称式といいます。すべての対称式は基本対称式を用いて表すことができます。例えば

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}&=&(a+b)^{2}-2ab\\ a^{3}+b^{3}&=&(a+b)^{3}-3ab(a+b)\end{eqnarray*}$

と表すことができます。この2式と $a,\ b$ が実数であることから $a+b=2,\ ab=-6$ となります。

$\begin{eqnarray*} a^{n+2}+b^{n+2}&=&(a+b)(a^{n+1}+b^{n+1})-ab(a^{n}+b^{n})\\ &=&2(a^{n+1}+b^{n+1})+6(a^{n}+b^{n})\end{eqnarray*}$

$a^{n}+b^{n}=a_{n}$ とおくと $a_{n+2}=2a_{n+1}+6a_{n}$ という関係式があることがわかります。この関係式と、 $a_{2}=16,\ a_{3}=44$ で偶数であることあから、 $n\geqq 2$ である自然数 $n$ について $a_{n+2}$ は4の倍数であることが言えます。