マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2012年中高共通第5問】

2次関数教員採用試験の過去問

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今週は2012年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文

$a$ は定数とする。関数 $y=x^{2}-4x\ (a\leqq x\leqq a+2)$ の最大値および最小値と、そのときの $x$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

定義域に文字式が含まれている2次関数の最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2次関数は平方完成をすることが基本になります。与えられた関数を平方完成すると $y=(x-2)^{2}-4$ となります。したがって、この関数のグラフの放物線の軸は $x=2$ であることがわかります。定義域に文字式が含まれていますので、放物線の軸と定義域との位置関係で場合分けを行います。今回は最大値と最小値両方を求めますので

(1)軸が定義域の左側にある。

(2)軸が定義域の中にあって、左寄りにある。

(3)軸が定義域の中央にある。

(4)軸が定義域の中にあって、右寄りにある。

(5)軸が定義域の右側にある。

の5パターンに場合分けします。なお、関数 $y=x^{2}-4x$ のグラフは以下のようになります。

軸が定義域の左側にある場合

この場合は放物線の軸が $x=a$ より左、すなわち $a\gt 2$ のときになります。今回の問題で扱う放物線は上に凸の放物線ですので、軸に近いほど値が小さく、軸から遠いほど値が大きくなります。したがって、 $x=a$ のとき最小値、 $x=a+2$ のとき最大値を取ります。よって

$x=a$ のとき最小値 $a^{2}-4a$ 、 $x=a+2$ のとき最大値 $a^{2}-4$ をとります。

軸が定義域の中にあって、左寄りにある場合

この場合は、 $a\geqq 2$ かつ $2\lt a+1$ が条件になりますので、 $1\lt a\leqq 2$ のときになります。放物線の頂点が定義域の中にありますので、 $x=2$ のとき最小値をとります。また、 $x=a+2$ のところが頂点から最も遠くなりますので、最大値と最小値は

$x=2$ のとき最小値 $-4$ 、 $x=a+2$ のとき最大値 $a^{2}-4$ をとります。

軸が定義域の中央にある場合

この場合は $2=a+1$ が条件ですので $a=1$ のときになります。 $a$ の値が具体的に定まっていますので、この数値を使って解答します。頂点が定義域の中にありますので、 $x=2$ のとき最小値、頂点から最も離れているのは $x=1$ または $x=3$ ですので、最大値と最小値は

$x=2$ のとき最小値 $-4$ 、 $x=1$ または $x=3$ のとき最大値 $-3$ をとります。

軸が定義域の中にあって、右寄りにある場合

この場合は $2\leqq a+2$ かつ $a+1\lt 2$ が条件になりますので、 $0\leqq a\lt 1$ のときになります。頂点が定義域の中にありますので、この点で最小値を取ります。頂点から最も遠いのは $x=a$ となります。したがって、最大値と最小値は

$x=2$ のとき最小値 $-4$ 、 $x=a$ のとき最大値 $a^{2}-4a$ をとります。

軸が定義域の右側にある場合

この場合は軸が $x=2$ が $x=a+2$ より右側、すなわち $a+2\lt 2$ のときになります。この不等式を解くと $a\lt 0$ となります。このとき、頂点から最も近いのは $x=a+2$ 、最も遠いのは $x=a$ のときの点ですので、最大値と最小値は

$x=a+2$ のとき最小値 $a^{2}-4$ 、 $x=a$ のとき最大値 $a^{2}-4a$ をとります。

いかがだったでしょうか？

場合分けが非常に面倒な問題です。

模試でも良く出題される問題かと思います。

数学の問題を解くにあたって、場合分けが必要になってくることが多々ありますので、この問題を通して慣れておいたほうが良さそうです。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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