徳島県教員採用試験の問題【2012年中高共通第6問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2012年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第6問です。

今回の問題の原文

自然数 $N$ について、一の位の数を1番めとして数え始めて、十の位、百の位と左へ向かって奇数番目の位の数の和から、偶数番目の位の数の和を引くと、11の倍数になるとき、自然数 $N$ は11の倍数である。自然数 $N$ は6桁の自然数であるとして、このことを証明しなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

自然数が11の倍数になる条件の証明です。問題の都合上、設問を変えてあります。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

先ずは元の問題の照明をしてみます。

元の問題の証明

自然数 $N$ の $10^{k}\ (k=0,1,2,3,4,5)$ の位の数を $a_{k}$ とする。仮定より、整数 $l$ を用いて

$(a_{0}+a_{2}+a_{4})-(a_{1}+a_{3}+a_{5})=11l$

と表すことができる。よって

$\begin{eqnarray*} N&=&10^{5}a_{5}+10^{4}a_{4}+10^{3}a_{3}+10^{2}a_{2}+10^{1}a_{1}+10^{0}a_{0}\\ &=&100001a_{5}+9999a_{4}+1001a_{3}+99a_{2}+11a_{1}+11l\\ &=&11(9091a_{5}+909a_{4}+91a_{3}+9a_{2}+a_{1}+l)\end{eqnarray*}$

$a_{k}\ (k=0,1,2,3,4,5)$ は整数なので、 $N$ は11の倍数である。

11の倍数の判別

先ほどの証明から、並んでいる数字の右から順（左側からでも大丈夫です）に奇数番目の数を足した値と偶数番目の数を足した値の差をとります。この値が11の倍数であればその数は11の倍数になります。

例えば、123321であれば右から奇数番目の数の和は $1+3+2=6$ 偶数番目の数の和は $2+3+1=6$ で、その差は $0$ になります。この値は11の倍数と言えますので、123321は11の倍数であることがわかります。実際に計算をすると $123321\div 11=11211$ となります。

131232の場合は、右から奇数番目の数の和は $2+2+3=7$ 、偶数番目の数の和は $1+1+3=5$ となりますので、その差は $2$ となります。この値は11の倍数ではありませんので、131232は11の倍数ではないことがわかります。131232を11で割ると、商が11930、あまりが2となります。