マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2020年中高共通第3問】

2次関数教員採用試験の過去問

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2020年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

今回の問題の原文（記述式）

関数 $f(x)=x^{2}+2ax+a+1$ の $-1\leqq x\leqq 1$ における最小値を $m(a)$ とするとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。ただし、 $a$ は実数とする。

(1) $m(a)$ を求めなさい。

(2) $-1\leqq x\leqq 1$ において、常に $f(x)\geqq 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次関数の最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$m(a)$ を求める

扱っている関数が2次関数ですので、平方完成をしておきます。

$f(x)=(x+a)^{2}-a^{2}+a+1$

となります。軸が $x=-a$ ですので、この軸と定義域との位置関係で場合分けをして $m(a)$ を求めます。

$-a\lt -1$ すなわち $a\gt 1$ のとき、放物線の軸が定義域の左側にありますので、 $f(-1)$ が最小値になります。したがって

$m(a)=f(-1)=-a+2$

となります。

$-1\leqq a\leqq 1$ のとき、放物線の軸が定義域の中にありますので、

$m(a)=-a^{2}+a+1$

となります。

$1\lt -a$ すなわち $a\lt -1$ のとき、放物線の軸が定義域の右側にありますので、 $f(1)$ が最小値になります。したがって

$m(a)=f(1)=3a+2$

となります。

常に $f(x)\geqq 0$ となる $a$ の値の範囲

前半の問題がヒントになります。最小値が $0$ 以上になれば条件を満たしますので、それぞれの場合で $m(a)\geqq 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めれば良いことになります。解答は以下のようになります。

$\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}\leqq a\leqq 2$

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

後半の問題は最小値が $0$ 以上になれば良いということがわかればすぐに解ける問題でした。

2次関数は平方完成をして最大と最小を求めることが基本ですが、微分の知識があれば導関数を使って解くことが可能です。

どちらが楽かは実際に解いてみると良いかと思います。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper