マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2020年中高共通第3問】

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

目次

今回の問題
今回の問題の原文(記述式)
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2020年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

今回の問題の原文(記述式)

関数 f(x)=x^{2}+2ax+a+1 -1\leqq x\leqq 1における最小値を m(a)とするとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。ただし、 aは実数とする。

(1) m(a)を求めなさい。

(2) -1\leqq x\leqq 1において、常に f(x)\geqq 0となるような aの値の範囲を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次関数の最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 m(a)を求める

扱っている関数が2次関数ですので、平方完成をしておきます。

 f(x)=(x+a)^{2}-a^{2}+a+1

となります。軸が x=-aですので、この軸と定義域との位置関係で場合分けをして m(a)を求めます。

 -a\lt -1すなわち a\gt 1のとき、放物線の軸が定義域の左側にありますので、 f(-1)が最小値になります。したがって

 m(a)=f(-1)=-a+2

となります。

 -1\leqq a\leqq 1のとき、放物線の軸が定義域の中にありますので、

 m(a)=-a^{2}+a+1

となります。

 1\lt -aすなわち a\lt -1のとき、放物線の軸が定義域の右側にありますので、 f(1)が最小値になります。したがって

 m(a)=f(1)=3a+2

となります。

常に f(x)\geqq 0となる aの値の範囲

前半の問題がヒントになります。最小値が 0以上になれば条件を満たしますので、それぞれの場合で m(a)\geqq 0となるような aの値の範囲を求めれば良いことになります。解答は以下のようになります。

 \displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}\leqq a\leqq 2

いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

後半の問題は最小値が 0以上になれば良いということがわかればすぐに解ける問題でした。

2次関数は平方完成をして最大と最小を求めることが基本ですが、微分の知識があれば導関数を使って解くことが可能です。

どちらが楽かは実際に解いてみると良いかと思います。

 

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