徳島県教員採用試験の問題【2020年中高共通第5問】

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今回の問題

今週は2020年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文（記述式）

平面上に、1辺の長さが1の正三角形 $OAB$ があり、点 $P$ は

$\overrightarrow{OP}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}$

を満たす。このとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。ただし、 $\alpha ,\ \beta$ は実数とする。

(1) $3\alpha +\beta =1,\ \alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0$ が成り立つとき、点 $P$ の存在する範囲を図示しなさい。

(2) $\alpha +6\beta \leqq 3,\ \alpha \geqq 0,\ \beta \geqq 0$ が成り立つとき、点 $P$ の存在する範囲を図示し、その面積を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

位置ベクトルで表された点の存在範囲を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)の問題について

$\displaystyle \overrightarrow{OA^{\prime }}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ となるような点 $A^{\prime }$ をとると

$\overrightarrow{OP}=3\alpha \overrightarrow{OA^{\prime }}+\beta \overrightarrow{OB}$

となります。 $\alpha$ と $\beta$ の条件から点 $P$ の存在範囲は線分 $A^{\prime }B$ となります。

(2)の問題について

条件式を変形すると $\displaystyle \frac{\alpha }{3}+2\beta \leqq 1$ となります。 $\displaystyle \overrightarrow{OA^{\prime }}=3\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ となる点 $A^{\prime },\ B^{\prime }$ をとると、点 $P$ の存在範囲は $\triangle OA^{\prime }B^{\prime }$ の周およびその内部になります。求める面積はこの三角形の面積ですが、 $\displaystyle \angle A^{\prime }OB^{\prime }=60^{\circ },\ OA^{\prime }=3,\ OB^{\prime }=\frac{1}{2}$ ですので