徳島県教員採用試験の問題【2021年中高共通第5問】

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今回の問題

今週は2021年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文（記述式）

一辺の長さが1の正方形 $ABCD$ において、辺 $AB,\ BC,\ CD,\ DA$ の中点をそれぞれ $E,\ F,\ G,\ H$ とする。次の図のように(上の画像をご参照ください)この正方形に8本の線分を引くと、それらの線分で囲まれた図形(図の斜線部分)ができる。下の(1)〜(3)の問いに答えなさい。

(1)線分 $AC,\ BD$ の交点を $O$ 、 $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とする。線分 $BD,\ HC$ の交点を $P$ 、線分 $EG,\ HC$ の交点を $Q$ とするとき、 $\overrightarrow{OP},\ \overrightarrow{OQ}$ をそれぞれ $\vec{a},\ \vec{b}$ を用いて表しなさい。

(2) $|\overrightarrow{OQ}|$ と $|\overrightarrow{PQ}|$ の値をそれぞれ求めなさい。なお、解答は答えのみでよい。

(3)図の斜線部分の面積 $S$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

ベクトルを用いて図形の面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\overrightarrow{OP},\ \overrightarrow{OQ}$ を $\vec{a},\ \vec{b}$ で表す

点 $O$ は正方形の2本の対角線の交点になります。点 $P$ は線分 $OD$ と線分 $HC$ の交点になりますので、方針は $\overrightarrow{OD}$ と $\overrightarrow{HC}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表すことです。点 $D$ は点 $O$ に関して点 $B$ と反対側にあり、 $OB=OD$ ですので $\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$ です。また、 $\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b}),\ \overrightarrow{OC}=-\vec{a}$ ですので

$\displaystyle \overrightarrow{HC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}=-\frac{3}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}$

となります。点 $P$ は直線 $HC$ 上にありますので、 $\overrightarrow{HP}=t\overrightarrow{HC}$ となる実数 $t$ が存在します。また、点 $P$ は直線 $OD$ 上にもありますので、 $\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OD}$ となる実数 $k$ が存在します。このことを用いると、 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HP}$ より

$\displaystyle -k\vec{b}=\left( \frac{1}{2}-\frac{3}{2}t\right) \vec{a}+\left( \frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\right) \vec{b}$

が得られます。右辺、左辺とも $\overrightarrow{OP}$ を表していますが、ベクトルの表し方は1通りですので、各ベクトルに対する係数をそれぞれ比較すると

$\left\{ \begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{3}{2}t&=&0\\ \displaystyle \frac{1}{2}t-\frac{1}{2}&=&-k\end{array}\right.$

という連立方程式が得られます。この連立方程式を解くと $\displaystyle t=\frac{1}{3},\ k=\frac{1}{3}$ ですので $\displaystyle \overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\vec{b}$ となります。

同じようにして $\overrightarrow{OQ}$ を求めます。点 $Q$ は線分 $HC$ と線分 $OG$ との交点になります。 $\displaystyle \overrightarrow{OG}=-\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$ ですので、 $k^{\prime },\ t^{\prime }$ を実数とすると

$\displaystyle -\frac{1}{2}k(\vec{a}+\vec{b})=\left( \frac{1}{2}-\frac{3}{2}t^{\prime }\right) \vec{a}+\left( \frac{1}{2}t^{\prime }-\frac{1}{2}\right) \vec{b}$

が得られます。先程と同じように連立方程式を解くと $\displaystyle t^{\prime }=\frac{1}{2},\ k^{\prime }=\frac{1}{2}$ が得られますので

$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=-\frac{1}{4}\vec{a}-\frac{1}{4}\vec{b}$

となります。

$|\overrightarrow{OQ}|$ と $|\overrightarrow{PQ}|$ の値

正方形の対角線は垂直に交わり、それぞれの中点で交わります。したがって

$\displaystyle |\vec{a}|=\frac{\sqrt{2}}{2},\ |\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{2},\ \vec{a}\cdot \vec{b}=0$

であることがわかります。このことを用いると

$\displaystyle |\overrightarrow{OQ}|^{2}=\frac{1}{16}|\vec{a}|^{2}+\frac{1}{8}\vec{a}\cdot \vec{b}+\frac{1}{16}|\vec{b}|^{2}=\frac{1}{16}$

ですので、 $\displaystyle |\overrightarrow{OQ}|=\frac{1}{4}$ となります。また、

$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{12}\vec{b}$

より $\displaystyle |\overrightarrow{PQ}|^{2}=\frac{5}{144}$ となりますので $\displaystyle |\overrightarrow{PQ}|=\frac{\sqrt{5}}{12}$ となります。

斜線部分の図形の面積

斜線部分の図形は、正八角形になります。ですので、面積は $\triangle OPQ$ の面積8枚分になります。 $\displaystyle |\overrightarrow{OP}|=\frac{\sqrt{2}}{6},\ \angle POQ=45^{\circ }$ ですので、斜線部の図形の面積は