徳島県教員採用試験の問題【2019年中高共通第5問】

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今回の問題

今週は2019年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第5問です。

今回の問題の原文（記述式）

四面体 $OABC$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $D$ 、線分 $CD$ を $5:1$ に内分する点を $E$ 、線分 $OE$ を $1:2$ に内分する点を $F$ 、直線 $AF$ が平面 $OBC$ と交わる点を $H$ とする。 $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b},\ \overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とするとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\overrightarrow{OD},\ \overrightarrow{OE},\ \overrightarrow{AF}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ を用いてそれぞれ表しなさい。

(2) $AF:FH$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

ベクトルを用いて線分比を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\overrightarrow{OD},\ \overrightarrow{OE},\ \overrightarrow{AF}$ を $\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}$ で表す

点 $C$ が線分 $AB$ を $m:n$ に内分するとき

$\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}$

が成り立ちます。これを用いると、点 $D$ は線分 $AB$ を2:3に内分しますので

$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}}{2+3}$

$\displaystyle \hspace{1.75em}=\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$

となります。同様に、点 $E$ は線分 $CD$ を $5:1$ に内分しますので

$\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OC}+5\overrightarrow{OD}}{5+1}$

$\displaystyle \hspace{1.75em}=\frac{1}{6}\vec{c}+\frac{5}{6}\left( \frac{3}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}\right)$

$\displaystyle \hspace{1.75em}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}$

点 $F$ は線分 $OE$ を $1:2$ に内分しますので

$\displaystyle \overrightarrow{OF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OE}$

$\displaystyle \hspace{1.75em}=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{9}\vec{b}+\frac{1}{18}\vec{c}$

となります。したがって

$\displaystyle \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}=-\frac{5}{6}\vec{a}+\frac{1}{9}\vec{b}+\frac{1}{18}\vec{c}$

となります。

点 $H$ の位置をベクトルを用いて求める

点 $H$ は直線 $AF$ 上にありますので $\overrightarrow{AH}=k\overrightarrow{AF}$ となる実数 $k$ が存在します。ですので、 $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}$ より

$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\left( 1-\frac{5}{6}k\right) \vec{a}+\frac{1}{9}k\vec{b}+\frac{1}{18}k\vec{c}$

となります。点 $H$ は平面 $OBC$ 上にありますので $\overrightarrow{OH}=t\vec{b}+s\vec{c}$ の形で表されるはずです。したがって、 $\displaystyle 1-\frac{5}{6}k=0$ であることがわかりますので $\displaystyle k=\frac{6}{5}$ となります。これにより $\displaystyle \overrightarrow{AH}=\frac{6}{5}\overrightarrow{AF}$ が成り立ちますので $AF:FH=5:1$ であることがわかります。