徳島県教員採用試験の問題【2013年中高共通第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2013年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

今回の問題の原文

平面上に $A(-1,3),\ B(5,11)$ がある。点 $Q$ が直線 $y=2x$ 上にあるとき、 $QA+QB$ を最小とする点 $Q$ の座標を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

折れ線の最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

線対称な図形の性質を使って点Aと線対称な点を求める

先ずは点 $A$ の直線 $y=2x$ に関して対称な点を求めます。線対称移動を行った点には次の性質があります。

・元の点と線対称移動を行った点を結んだ直線と対称軸は垂直に交わる。

・元の点と線対称移動した点の中点は対称軸上の点である。

この性質を使って点 $Q$ の座標を求めていきます。直線 $y=2x$ に関して点 $A$ と対称な点を $A^{\prime }$ とすると、直線 $AA^{\prime }$ は直線 $y=2x$ と垂直に交わります。したがって、直線 $AA^{\prime }$ の傾きは $\displaystyle -\frac{1}{2}$ となります。点 $A(-1,3)$ を通ることから、直線 $AA^{\prime }$ の方程式は $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ となります。この式を変形すると $x+2y-5=0$ です。

直線 $AA^{\prime }$ と直線 $y=2x$ の交点は、連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} y&=&2x\\ y&=&\displaystyle -\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\end{array}\right.$

の解になります。この連立方程式を解くと $(x,y)=(1,2)$ となります。この点が線分 $AA^{\prime }$ の中点になりますので、 $A^{\prime }$ の座標は $(3,1)$ となります。

点Qの座標を求める

点 $A^{\prime }$ は直線 $y=2x$ に関して点 $A$ と対称な点ですので、 $AQ=A^{\prime }Q$ となります。また、2点の距離が最小となるのはその2点を結ぶ線分の長さであることを考えると、 $QA+QB$ の最小値は線分 $A^{\prime }B$ の長さになります。このときの点 $Q$ の位置は直線 $y=2x$ と直線 $A^{\prime }B$ の交点になります。図に表すと次のようになります。