マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2013年前期日程第4問】

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今週は首都大学東京2013年と2014年の問題です。

今回は2013年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

軌跡を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

直線 l:y=kx+k^{2}+3k+1と放物線 C:y=ax^{2}+bx+cとの交点の x座標は、 x2次方程式

 kx+k^{2}+3k+1=ax^{2}+bx+c…①

の実数解で与えられます。

問題の条件が kの値に関係なく直線 lと放物線 Cが接しますので、方程式①を整理すると

 ax^{2}+(b-k)x+c-k^{2}-3k-1=0

となります。この方程式の判別式を Dとすると

 D=(b-k)^{2}-4a(c-k^{2}-3k-1

 =(4a+1)k^{2}+(12a-2b)k+4a+b^{2}-4ac

となります。 kの値に関係なく D=0となれば良いので、 D=0 k恒等式と考えると次の連立方程式が成り立ちます。

 \left\{ \begin{array}{ccc} 4a+1&=&0\\ 12a-2b&=&0\\ 4a+b^{2}-4ac&=&0\end{array}\right.

この連立方程式を解くと \displaystyle a=-/frac{1}{4},\ b=-\frac{3}{2},\ c=-\frac{5}{4}となります。

このとき、方程式①を解くと x=-2k-3ですので、接点 Pの座標は (-2k-3,-k^{2}+1)となります。

したがって、 OPの中点 Qの座標は \displaystyle \left( \frac{-2k-3}{2},\frac{-k^{2}+1}{2}\right) となりますので、 Q(X,Y)とおくと

 \left\{ \begin{array}{ccc} X&=&\displaystyle \frac{-2k-3}{2}\\ Y&=&\displaystyle \frac{-k^{2}+1}{2}\end{array}\right.

ここから kを消去すると \displaystyle Y=-\frac{1}{2}X^{2}-\frac{3}{2}X-\frac{5}{8}となりますので、点 Qは放物線 \displaystyle y=-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{5}{8}上を動くことがわかります。

いかがだったでしょうか?

入試問題で軌跡の問題はあまり見かけませんが、出題されることがあるようです。

図形と方程式の問題は油断していると出題されることがありますので、要注意かもしれません。

そういえば昨日、東京都立大学で男性教授が切りつけられる事件が発生したようです。

以前にも違う大学で教員が切りつけられる事件があった気がします。勉強より命を気を付けないといけないのでしょうか。非常に残念です。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

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