マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220810

2次関数入試問題

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は東京未来大学2019年の問題です。

今回は1日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次関数の図と与えられている前提条件から答えをあぶり出します。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

与えられている条件②から、点 $A$ と $B$ を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式が $y=-x-3$ です。

点 $B$ は $x$ 軸上にありますので、その $y$ 座標は0です。

したがって、線分 $AB$ の中点の $y$ 座標は $\displaystyle \frac{-10+0}{2}=-5$ であることがわかります。

この中点は直線 $y=-x-3$ 上にありますので、 $x$ 座標は方程式 $-5=-x-3$ の解となりますから、これを解くと $x=2$ となります。

点 $B$ の $x$ 座標を $k$ とおくと $\displaystyle \frac{-3+k}{2}=2$ を満たしますので、この方程式を解くと $k=7$ となります。

したがって、点{tex: B]の座標は $(7,0)$ であることがわかります。

2次関数の頂点を $C(a,b)$ 、 $AC=6\sqrt{10},\ BC=4\sqrt{5}$ をみたすとき、三平方の定理を用いると

$(a+3)^{2}+(b+10)^{2}=360$ …(A)

$(a-7)^{2}+b^{2}=80$ …(B)

という式が得られます。

式(A)と式(B)から $a^{2}$ と $b^{2}$ を消去して整理すると

$a+b=11$

という条件が出てきます。

$a$ と $b$ が自然数である場合、この条件を満たす $(a,b)$ の組は $a$ を1から順に入れて考えると10通りあることがわかります。

$a=3$ とすると、先ほど導いた条件から $b=8$ となります。

したがって2次関数は頂点が $(3,8)$ であることから $f(x)=\alpha (x-3)^{2}+8$ という形で書くことができます。

この2次関数は点 $B(7,0)$ を通りますので、方程式 $16\alpha +8=0$ が導かれます。

この方程式の解は $\displaystyle \alpha =-\frac{1}{2}$ になりますので、2次関数の式は一般形で求めると

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+3x+\frac{7}{2}$

となります。

最後の問題は放物線 $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^{2}+3x+\frac{7}{2}$ と直線 $y=-x-3$ の交点の $x$ 座標のうち正の数ではないほうを求めます。

これは $x$ の2次方程式 $\displaystyle -\frac{1}{2}x^{2}+3x+\frac{7}{2}=-x-3$ の解を求めれば良いので、これを解くと $x=4\pm \sqrt{29}$ となります。

この解の正の数ではないほうが求める答えとなります。

いかがだったでしょうか？

図と条件から考えなければならないので少し難しいかもしれません。

特に中盤の $a,\ b$ に関する条件を求めるところが山場ではないでしょうか。

あとは条件の②が垂直二等分線と気づくかどうかもポイントになりそうです。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper