徳島県教員採用試験の問題【2013年中高共通第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2013年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第2問です。

今回の問題の原文

図を用いて、次の式が成り立つことを証明しなさい。

$\cos{2\theta }=\cos^{2}{\theta }-\sin^{2}{\theta }\ (0^{\circ }\lt \theta \lt 45^{\circ })$

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

図を用いた倍角の公式の証明です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

図については、問題の画像をご参照ください。

内角と外角の関係から、 $\angle BAD=\theta$ となります。したがって、 $\triangle ABD$ は $BA=BD$ の二等辺三角形になります。よって $BD=1$ のとき $AB=1$ となります。 $\triangle ABC$ は $\angle C=90^{\circ }$ の直角三角形ですので、 $BC=x,\ AC=y$ とおくと、三平方の定理より $x^{2}+y^{2}=1$ が成り立ちます。また、三角比の定義から $\displaystyle \cos{2\theta }=\frac{BC}{AB}=x$ となります。

$\triangle ACD$ は $\angle C=90^{\circ }$ の直角三角形ですので、三平方の定理より

$\begin{eqnarray*} AD^{2}&=&AC^{2}+CD^{2}\\ &=&(1+x)^{2}+y^{2}\\ &=&1+2x+x^{2}+y^{2}\\ &=&2x+2\end{eqnarray*}$

となります。また、三角比の定義より

$\displaystyle \cos^{2}{\theta }=\frac{CD^{2}}{AD^{2}}=\frac{(1+x)^{2}}{2x+2}$

$\displaystyle \sin^{2}{\theta }=\frac{AC^{2}}{AD^{2}}=\frac{y^{2}}{2x+2}$

となりますので

$\begin{eqnarray*} \cos^{2}{\theta }-\sin^{2}{\theta }&=&\frac{(1+x)^{2}-y^{2}}{2x+2}\\ &=&\frac{1+2x+x^{2}-(1-x^{2})}{2x+2}\\ &=&\frac{2x+2x^{2}}{2x+2}\\ &=&\frac{x(2x+2)}{2x+2}\\ &=&x=\cos{2\theta }\end{eqnarray*}$