徳島県教員採用試験の問題【2007年中学校第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2007年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中学校第2問です。

今回の問題の原文

直角を挟む2辺の長さが $a,\ b$ 、斜辺の長さが $c$ の直角三角形 $ABC$ があるとき、 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ の関係が成り立つことを図を示して証明しなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三平方の定理の証明です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

三平方の定理の定理の証明は100通りくらいあるそうですが、そのうちの1つです。

問題の図のように直角三角形を正方形になるように並べます。そうすると、できた正方形の内部に正方形の「穴」が空きます。この面積を2通りで表すことを考えます。

まず、この「穴」は一辺が $c$ の正方形ですので、この正方形の面積は $c^{2}$ となります。

もう1通りの表し方は、作った正方形の面積から並べた直角三角形の面積を引くことです。

作った正方形の一辺の長さは $a+b$ ですので、その正方形の面積は $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ となります。また、並べた直角三角形1枚の面積は $\displaystyle \frac{1}{2}ab$ で、この直角三角形が4枚ありますから、並べた直角三角形の面積は $4\times \frac{1}{2}ab=2ab$ となります。