マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2013年中高共通第6問】

図形と計量・図形の性質教員採用試験の過去問

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今週は2013年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第6問です。

今回の問題の原文

次の図において(図は問題の画像をご参照ください)、互いに外接している3つの円 $O_{1},\ O_{2},\ O_{3}$ の半径は、それぞれ $a,a,2a$ である。半径1の円 $O$ にこれら3つの円が内接しているとき、 $a$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

互いに外接する3つの円の半径を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

解き方を順を追って解説していきます。点 $P$ は円 $O_{1}$ と円 $O_{2}$ の接点とします。

$O_{3}P$ の長さを求める

円 $O_{2}$ と円 $O_{3}$ は外接しますので、 $O_{2}O_{3}=3a$ です。同様に $O_{1}O_{2}=2a$ ですので、 $O_{2}P=a$ となります。 $\triangle O_{2}O_{3}P$ が $\angle O_{2}PO_{3}=90^{\circ }$ の直角三角形であることから、三平方の定理より

$\begin{eqnarray*} O_{3}P^{2}&=&9a^{2}-a^{2}\\ &=&8a^{2}\end{eqnarray*}$

となりますので、 $O_{3}P=2\sqrt{2}a$ となります。

$OO_{3}$ と $OP$ の長さを求める

円 $O_{3}$ は円 $O$ に内接しますので、 $O_{3}O=1-2a$ となります。

また、円 $O_{2}$ は円 $O$ に内接しますので $OO_{2}=1-a$ 、また $O_{2}P=a$ です。

$\triangle O_{2}OP$ は $\angle OPO_{2}=90^{\circ }$ の直角三角形なので、三平方の定理より $OP=\sqrt{1-2a}$ となります。

[tex: O{3}P=OO{3}+OP]であることを用いて $a$ の方程式を立てる

ここまでで

$O_{3}P=2\sqrt{2}a,\ OO_{3}=1-a,\ OP=\sqrt{1-2a}$

であることがわかりました。 $O_{3}P=OO_{3}+OP$ より

$2\sqrt{2}a=1-2a+\sqrt{1-2a}$

となります。これは $a$ についての方程式になりますので、これを解くと $\displaystyle a=\frac{-5+4\sqrt{2}}{2}$ となります。

いかがだったでしょうか？

今回の問題は少し難しかったです。

特に最後の方程式を解くのが大変でした。

根号が含まれるときは、2乗して外しますが上手く外れるように工夫して式変形していく必要があります。

　

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