徳島県教員採用試験の問題【2005年中高共通第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2005年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。

今回は中高共通の第2問です。

今回の問題の原文

一辺の長さが1である正四面体 $OABC$ があり、半径 $r$ の球が内接している。このとき、(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)正四面体 $OABC$ の体積を求めなさい。

(2)球の半径 $r$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

四面体の体積を用いて内接する球の半径を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\triangle ABC$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin{60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

です。また、正四面体 $OABC$ の高さは、頂点 $O$ から $\triangle ABC$ に下ろした垂線を $OH$ とすると、点 $H$ は $\triangle ABC$ が正三角形であることから重心にきます。したがって、 $\displaystyle AH=\frac{\sqrt{3}}{3}$ となります。よって、三平方の定理より $\displaystyle OH=\frac{\sqrt{6}}{3}$ となります。