微分積分の文章題【黄色チャート数学Ⅱ＋B例題158】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は文章題について解説します。

今回は微分を使って解く文章題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

球に内接する直円柱の体積の最大値を求める問題です。問題文については上の画像をご参照ください。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

空間図形の対称性を使って直円柱の高さを文字でおく

図を描くとこのようになります。青が球、赤が直円柱で、求める最大値は球と直円柱が被っている部分の空間図形の体積です。

球の中心から直円柱の底面からの距離を $t$ とおくと、直円柱の高さは空間図形の対称性から $2t$ です。ここで、 $t$ の取り得る値の範囲は球の半径が6であることから $0\lt t\lt 6$ です。底面の円の半径は、三平方の定理より $\sqrt{36-t^{2}}$ となりますので、直円柱の体積を $V(t)$ とすると

$V(t)=2t(36-t^{2})\pi =(-2t^{3}+72t)\pi$

となります。これを $t$ の関数と扱って最大値を求めていきます。

導関数を求めて $V(t)$ の最大値を求める

$V(t)$ を $t$ で微分した関数を $\displaystyle \frac{dV}{dt}(t)$ とすると

$\displaystyle \frac{dV}{dt}(t)=(-6t^{2}+72)\pi =-6(t^{2}-12)\pi$

となります。したがって、 $V(t)$ の増減は次のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline t&0&\cdots &2\sqrt{3}&\cdots &6\\ \hline \displaystyle \frac{dV}{dt}&\ &+&0&-&\ \\ \hline V(t)&0&\nearrow &96\sqrt{3}&\searrow &0\\ \hline \end{array}$