徳島県教員採用試験の問題【2005年高等学校第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は2005年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。

今回は高等学校第2問です。

$xy$ 平面上でで $y=\sin{x}\ (0\leqq x\leqq \pi)$ と $y=1$ と $y$ 軸とで囲まれた図形を、 $y$ 軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めなさい。

難易度は☆☆☆です。

回転体の体積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

求める体積は、図の青い色がついた部分を $y$ 軸周りに1回転させてできる回転体の体積です。

この体積を $V$ とすると、 $\displaystyle V=\pi \int_{0}^{1}x^{2}dy$ で求められます。ここで、 $y=\sin{x}$ であることにより $dy=\cos{x}dx$ ですので、置換積分により

$V=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}x^{2}\cos{x}dx$

となります。ここからの計算は部分積分を2回用いることにより $\displaystyle V=\frac{\pi ^{3}}{4}-2\pi$ となります。

今回は数学Ⅲの積分の問題でした。

扱う関数が三角関数や指数関数、対数関数などに拡がりますが、やることは数学Ⅱの微分積分と同じです。

数学Ⅲの内容は難しい部分が多いかもしれませんが、導関数の公式やその他の計算のやり方を覚えていけば、解ける問題は多くなってくるかと思います。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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