マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2019年中高共通第4問】

指数関数と対数関数教員採用試験の過去問

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2019年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文（記述式）

正の定数 $k\ (k\not= 1)$ に対して、関数 $f(x)$ を次のように定めるとき、(1)・(2)の問いに答えなさい。

$f(x)=k^{2x}+k^{-2x}-2(k+k^{-1})(k^{x}+k^{-x})+2$

(1) $k^{x}+k^{-x}=t$ とおくとき、 $t$ の最小値を求めなさい。また、そのときの $x$ の値を求めなさい。

(2) $f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

指数関数に関する最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回の問題は置き換えによる誘導が付いていますので、問題の設定通りに解いていくと大丈夫です。

$t$ の取り得る値の範囲を調べる

$k^{x}+k^{-k}=t$ と置き換えしましたので、この $t$ の取り得る値の範囲を調べておきます。 $k$ は1ではない正の定数なので $k^{x}\gt 0$ 、 $k^{-x}\gt 0$ です。したがって、相加平均と相乗平均の関係より

$\begin{eqnarray*} k^{x}+k^{-x}&\geqq &2\sqrt{k^{x}\times k^{-x}}\\ &=&2\end{eqnarray*}$

となります。等号成立は $k^{x}=k^{-x}$ のときですが、これを調べていくと

$\begin{eqnarray*} k^{x}&=&k^{-x}\\ k^{x}\cdot k^{x}&=&k^{-x}\cdot k^{x}\\ k^{2x}&=&1\end{eqnarray*}$

となります。 $k\not= 1$ より $2x=0$ ですので $x=0$ であることがわかります。したがって $t$ は $x=0$ のとき最小値 $2$ をとります。

$f(x)$ の最小値を求める

$f(x)$ を $t$ の式で表します。置き換えによる式の両辺を2乗すると $t^{2}=(k^{x}+k^{-x})^{2}$ となりますが、この式から $k^{2x}+k^{-2x}=t^{2}-2$ が得られます。よって、 $f(x)$ を $t$ の式で表すと

$f(x)=t^{2}-2(k+k^{-1})t$

となります。これは $t$ の2次関数ですので、平方完成を行って最小値を求めます。導関数を求めて最小値を求める方法もあります。

平方完成を行う場合

平方完成すると

$f(x)=\{ t-(k+k^{-1})\} ^{2}-(k-k^{-1})^{2}$

となりますので、最小値は $t=k+k^{-1}$ すなわち $x=\pm 1$ のとき最小値 $-(k+k^{-1})^{2}$ をとることがわかります。

導関数を用いる場合

$\displaystyle \frac{df}{dt}=2t-2(k+k^{-1})$ ですので、関数 $f(x)$ の増減は次のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c}\hline t&\cdots &k+k^{-1}&\cdots \\ \hline \displaystyle \frac{df}{dt}&-&0&+\\ \hline f(x)&\searrow &-(k+k^{-1})^{2}&\nearrow \\ \hline \end{array}$

この増減表から $t=k+k^{-1}$ すなわち $x=\pm 1$ のとき最小値 $-(k+k^{-1})^{2}$ をとることがわかります。/p>

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回のような指数関数の最大・最小問題はよく見かける問題です。

解き方も今回のような手順です。

注意しないといけないのは、置き換えた文字の取り得る値の範囲を求める際に相加平均と相乗平均の関係を用いるところです。

相加平均と相乗平均の関係は使える条件がありますので、そこをチェックしておく必要があります。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper