マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2019年中高共通第3問】

数と式教員採用試験の過去問

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2019年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

今回の問題の原文（記述式）

$x$ についての方程式 $x^{2}+2(2k-1)x+4k^{2}-9=0$ について、次の(1)・(2)が成り立つような定数 $k$ の値の範囲をそれぞれ求めなさい。

(1)すべての解が負となる。

(2)異符号の解を持つ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

方程式の解の符号から文字定数の取り得る値の範囲を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回のタイプの問題は

・2次関数を用いて解く方法

・解と係数の関係を用いて解く方法

の2つの解法が考えられますが、今回は後者の方法で解説します。

2次方程式が実数解を持つときの $k$ の値の範囲を求める

実数には符号があり、複素数には符号がありませんので、解に符号が指定されている場合は実数解を持つと暗に言っています。ですので、まずは2次方程式が実数解を持つような $k$ の値の範囲を求めます。 $x$ の2次方程式 $x^{2}+2(2k-1)x+4k^{2}-9=0$ の判別式を $D$ とすると

$\begin{eqnarray*} D/4&=&(2k-1)^{2}-(4k^{2}-9)\\ &=&4k^{2}-4k+1-4k^{2}+9\\ &=&-4k+10\end{eqnarray*}$

となります。2次方程式が実数解を持つ条件は $D\geqq 0$ ですので、この不等式を解いて $\displaystyle k\leqq \frac{5}{2}$ …①となります。

(1)すべての解が負となる $k$ の値の範囲

$x$ の2次方程式 $x^{2}+2(2k-1)x+4k^{2}-9=0$ の解を $\alpha ,\ \beta$ とすると、解と係数の関係から

$\alpha +\beta =-2(2k+1),\ \alpha \beta =4k^{2}-9$

であることがわかります。これを使って $k$ の値の範囲を求めていきます。この2つの解の符号が負ですので

$\alpha +\beta \lt 0,\ \alpha \beta \gt 0$

という条件が出てきます。解と係数の関係と合わせると、連立不等式

$\left\{ \begin{array}{ccc} -4k+2&\lt &0\\ 4k^{2}-9&\gt &0\end{array}\right.$

を解くことになります。この連立不等式の上の式の解は $\displaystyle k\gt \frac{1}{2}$ …②、下の式の解は $\displaystyle k\lt -\frac{3}{2},\ \frac{3}{2}\lt k$ …③となります。求める $k$ の値の範囲は①、②、③の共通部分ですので、それを求めると $\displaystyle \frac{3}{2}\lt k\leqq \frac{5}{2}$ となります。

(2)異符号の解を持つときの $k$ の値の範囲

今度は2つの解の符号が異なりますので $\alpha \beta \lt 0$ が条件となります。解と係数の関係と合わせると

$4k^{2}-9\lt 0$

という不等式が得られます。この不等式の解は $\displaystyle -\frac{3}{2}\lt k\lt \frac{3}{2}$ となりますが、この解はすべて①の範囲に含まれていますので、この範囲が求める $k$ の値の範囲になります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題を2次関数を用いて解くと、 $x$ 軸と放物線の位置関係や放物線の軸の位置を調べていかなければいけないので、少し面倒な部分があります。

それと比べて今回の解き方は不等式を解いていくだけですので、解と係数の関係に関する知識があれば楽に解くことができるかと思います。

時間短縮をしたいならこの方法かと思います。

　

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