マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2015年高等学校第1問】

2次関数教員採用試験の過去問

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今週は2015年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は高等学校第1問です。

今回の問題の原文

関数 $\displaystyle y=x^{2}-2x+1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}$ がある。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $\displaystyle x+\frac{1}{x}=t$ とおくとき、 $y$ を $t$ の式で表しなさい。

(2) $x\lt 0$ のとき $y$ の最小値を求めなさい。また、そのときの $x$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

おきかえにより2次関数になる最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

最初の問題におきかえが指定されているので、それをヒントにして問題を解き進めていきます。

問題の通りの置き換えをして式変形をする

関数に $\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ があるのが厄介です。これを解消させるために、置き換えの式の両辺を2乗してみます。そうすると

$\displaystyle x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}$

となりますので $\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$ と表すことができます。したがって、 $y$ を $t$ の式で表すと

$y=t^{2}-2t-1$

となります。

最小値を求める

$t$ の取りうる値の範囲を求めます。見た目、相加平均と相乗平均の関係が使えそうです。ですが、 $x\lt 0$ ですので、このまま使おうとすると大減点です。相加平均と相乗平均の関係は次の通りです。

$a\gt 0$ かつ $b\gt 0$ のとき、不等式

$a+b\geqq 2\sqrt{ab}$

が成り立つ。等号成立は $a=b$ のときである。

扱う数が正でなければ相加平均と相乗平均の関係は使えません。そこで $\displaystyle -t=-x+\frac{1}{-x}$ としておきます。そうすると、 $x\gt 0$ ですので $-x\lt 0$ となります。こうすることによって、相加平均と相乗平均の関係が使えます。見通しをよくするために $-x=X$ とおくと $-t=X+\frac{1}{X}$ となります。相加平均と相乗平均の関係を用いると

$-t\geqq 2$

となりますので、 $t\leqq -2$ となります。なお、等号成立は $\displaystyle X=\frac{1}{X}$ すなわち $X=1$ のときですので、このときの $x$ の値は $x=-1$ となります。先程求めた $y$ は $t$ の2次関数ですので、平方完成をしておくと

$y=(t-1)^{2}-2$

となります。 $t$ の取りうる値の範囲に注意すると、 $y$ は $t=-2$ すなわち $x=-1$ のとき最小値 $7$ をとります。

いかがだったでしょうか？

一工夫が必要な問題でした。

何も考えずに問題を解いていってしまうと落とし穴にはまってしまいそうです。

公式や定理を使う際は使える条件に注意しておきたいです。

　

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