マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2009年中高共通第6問】

三角関数教員採用試験の過去問

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今週は2009年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第6問です。

今回の問題の原文

関数 $y=\cos{\theta }+\sin{\theta }+\sin{2\theta }\ (0\leqq \theta \lt 2\pi )$ について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $x=\cos{\theta }+\sin{\theta }$ とおくとき、次の①・②の問いに答えなさい。

① $x$ の取り得る値の範囲を求めなさい。

② $y$ を $x$ で表しなさい。

(2) $y$ の最大値と最小値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

三角関数の最大・最小を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\displaystyle \cos{\theta }+\sin{\theta }=\sqrt{2}\sin{\left( \theta +\frac{\pi }{4}\right) }$ ですので、 $x$ の取り得る値の範囲は

$-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$

となります。また、 $x^{2}=1+\sin{2\theta }$ となりますので $\sin{2\theta }=x^{2}-1$ となります。したがって

$y=x^{2}+x-1$

となります。これは $x$ の2次関数ですので、平方完成すると $\displaystyle y=\left( x+\frac{1}{2}\right) ^{2}-\frac{5}{4}$ となります。よって $y$ は最小値は $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ のとき $\displaystyle -\frac{5}{4}$ 、最大値は $x=\sqrt{2}$ のとき $\sqrt{2}+1$ となります。今回の問題については、最大値・最小値を取るときの $\theta$ の値を求めることは要請されていませんので、求める必要はありません。

いかがだったでしょうか？

三角関数の最大・最小問題でした。

大学入試でも同じようなタイプの問題がよく出題されます。

最近の問題では置き換えの仕方が問題設定されていますので、それに従って解いていくと解くことができるようになっているようです。

　

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