東京大学の問題【1956年2次試験解析Ⅱ第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2013年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は問題の選定の都合上、1956年東京大学2次試験の解析Ⅱの第1問です。

今回の問題の原文

次の関数の最大値および最小値を求めよ。またそのときの $\theta$ の値はいかほどか。

$(2\cos{2\theta }+2\cos{\theta }+3)(2\cos{\theta }+3)-\sin^{2}{2\theta }$

ただし、 $0\leqq \theta \leqq \pi$ とする。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角関数の最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

関数を倍角の公式を用いて式変形していきます。この際、できるだけ $\sin{\theta }$ または $\cos{\theta }$ に合わせます。どちらかに合わせるかは、 $\sin{\theta }$ または $\cos{\theta }$ について見たときに次数が奇数になっていると、それが残るのでそれに合わせていきます。今回の場合は $cos{\theta }$ について着目すると1次の項がありますので、 $\cos{\theta }$ に合わせたほうが良さそうです。

関数の式変形する

与えられた関数を次のように式変形していきます。

$f(\theta )=(2\cos{2\theta }+2\cos{\theta }+3)(2\cos{\theta }+3)-\sin^{2}{\theta }$ とおきます。

$\begin{eqnarray*} f(\theta )&=&(2\cos^{2}{\theta }+2\cos{\theta }+1)(2\cos{\theta }+3)-4\sin^{2}{\theta }\cos^{2}{\theta }\\ &=&(2\cos^{2}{\theta }+2\cos{\theta }+1)(2\cos{\theta }+3)-4(1-\cos^{2}{\theta })\cos^{2}{\theta }\\ &=&4\cos^{4}{\theta }+8\cos^{3}{\theta }+12\cos^{2}{\theta }+8\cos{\theta }+3\end{eqnarray*}$

これで $\cos{\theta }$ のみで関数を表すことができました。

関数のとりうる値の範囲を調べる

先ほどの式変形から、 $x=\cos{\theta }$ とおいて $f(\theta )$ を $x$ の式で表すと

$f(\theta )=4x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+8x+3$

となります。これは $x$ の4次関数ですので、導関数を求めて関数の増減を調べてみます。 $0\leqq \theta \leqq \pi$ ですので $-1\leqq x\leqq 1$ です。また、導関数は

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx}&=&16x^{3}+24x^{2}+24x+8\\ &=&8(2x+1)(x^{2}+x+1)\end{eqnarray*}$

となりますので、 $f(\theta )$ の増減は以下のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-1&\cdots &\displaystyle -\frac{1}{2}&\cdots &1\\ \hline \displaystyle \frac{df}{dx}&\ &-&0&+&\ \\ \hline f(\theta )&3&\searrow &\displaystyle \frac{5}{4}&\nearrow &35\\ \hline \end{array}$

増減表から関数の最大値と最小値を求める

上の増減表から最大値は $x=1$ すなわち $\theta =0$ のとき $35$ 、最小値は $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ すなわち $\displaystyle \theta =\frac{2}{3}\pi$ のとき $\displaystyle \frac{5}{4}$ となります。