マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2011年前期日程第2問・第3問】

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今週は首都大学東京2011年・2012年の問題です。

今回は文系学部前期日程第2問と第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

指数関数とベクトルに関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)指数関数の問題です。

指数関数には 2^{x}\gt 0という特徴があることに注意します。

関数 y y=(2^{x})^{3}-3\cdot 2^{x}と表すことができますが、見通しを良くするために 2^{x}=tとおくと

 y=t^{3}-3t

となります。 t^{3}-3t=t(t^{2}-3)ですので、 y=0となる tの値は t=0,\pm \sqrt{3}となりますが、 t\gt 0より t=\sqrt{3}となります。

したがって、このときの xの値を求めると \displaystyle x=\frac{1}{2}\log_{2}{3}となります。

関数 y=t^{3}-3t tの3次関数ですので、導関数を求めて関数の増減を調べます。

 y t微分すると y^{\prime }=3t^{2}-3となりますので、関数の増減は以下のようになります。

 \begin{array}{|c|c|c|c|c}\hline t&0&\cdots &1&\cdots \\ \hline y^{\prime }&&-&&+\\ \hline y&&\searrow &-2&\nearrow \\ \hline \end{array}

ということで、 y t=1すなわち x=0のとき最小値 -2をとります。

(2)ベクトルに関する問題です。

図形に関する問題なので、図示して考える方が方針は立てやすいかと思います。

図で表すとこんな感じになります。

 P_{1} x座標は、 3-r_{1}\cos{\theta } y座標は、 x軸より上側にあるので r_{1}\sin{\theta }となります。

 P_{2}の座標も同じように考えると \displaystyle \left( 1+r_{2}\cos{\theta },-r_{2}\sin{\theta }\right)となります。

よって、 \overrightarrow{P_{1}P_{2}} \overrightarrow{AP_{1}}を成分表示すると

 \overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(-2-r_{1}\cos{\theta }+r_{2}\cos{\theta },-r_{1}\sin{\theta }-r_{2}\sin{\theta })

 \overrightarrow{AP_{1}}=(-r_{1}\cos{\theta },r_{1}\sin{\theta })

となります。

 P_{1} P_{2}を通る直線が2つの円 C_{1} C_{2}の両方に接するとき \overrightarrow{P_{1}P_{2}}\cdot \overrightarrow{AP_{1}}=0ですので、 2\cos{\theta }-r_{1}~r_{2}=0となり、これを整理すると \displaystyle \cos{\theta }=\frac{r_{1}+t_{2}}{2}となります。

 \triangle OP_{1}P_{2}の面積は

 \overrightarrow{OP_{1}}=(3-r_{1}\cos{\theta },r_{1}\sin{\theta })

 \overrightarrow{OP_{2}}=(1+r_{2}\cos{\theta },-r_{2}\sin{\theta })

ですので

 \displaystyle \triangle OP_{1}P_{2}=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{OP_{1}}||\overrightarrow{OP_{2}}|-(\overrightarrow{OP_{1}}\cdot \overrightarrow{OP_{2}})^{2}}

 \displaystyle \frac{1}{4}(r_{1}+3r_{2})\sqrt{(2-r_{1}-r_{2})(2+r_{1}+r_{2})}

となります。

いかがだったでしょうか?

前半の指数関数の問題はよく出てくる問題ですので、解き方を覚えておいた方が良いです。

後半は文字式が多いので計算がしんどいかもしれません。

ベクトルの成分から三角形の面積を求める公式を覚えていないと厳しい問題かもしれません。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

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