首都大学東京の問題【2005年前期日程第3問・第4問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は首都大学東京2005年・2006年の問題です。

今回は2005年前期日程第3問と第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角関数の最大値・最小値の問題と確率の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1) $x=\sin{\theta }+\cos{\theta }$ とおくと

$x^{2}=1+2\sin{\theta }\cos{\theta }$

$x^{3}=\sin^{3}{\theta }+\cos^{3}{\theta }+3\sin{\theta }\cos{\theta }(\sin{\theta }+\cos{\theta })$

となりますので、 $f(\theta )$ を $x$ の式で表すと

$\displaystyle f(\theta )=-x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+6x-\frac{3}{2}$

となります。 $x$ は置き換えにより得られたものなので、 $x$ のとりうる値の範囲を求めておきます。

$\displaystyle \sin{\theta }+\cos{\theta }=\sqrt{2}\sin{(\theta +\frac{\pi }{4})}$ と変形できますので、 $0\leqq \theta \lt 2\pi$ のとき、 $x$ のとりうる値の範囲は $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ となります。

この範囲内での $f(\theta )$ の最大値と最小値を求めますが、式が $x$ の3次式ですので、導関数を求めて関数の増減を調べます。

$\displaystyle \frac{df}{dx}=-3(x+1)(x-2)$ となりますので、 $f(\theta )$ の増減は以下のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-\sqrt{2}&\cdots &-1&\cdots &\sqrt{2}\\ \hline \displaystyle \frac{df}{dx}&&-&0&+&\\ \hline f(\theta )&\displaystyle -4\sqrt{2}+\frac{3}{2}&\searrow &-5&\nearrow &\displaystyle 4\sqrt{2}+\frac{3}{2}\\ \hline \end{array}$

この増減表により、 $x=-1$ のとき $f(/theta )$ は最小値 $-5$ をとることがわかりますので、このときの $\theta$ の値を求めます。

$\displaystyle \sin{(\theta +\frac{\pi }{4})}=-1$ を解くと $\displaystyle \theta =\pi ,\ \frac{3}{2}\pi$ となります。

最大値のほうも同じようにその値をとる $\theta$ の値を求めておきます。

最終的な答えは $\displaystyle \theta =\pi ,\ \frac{3}{2}\pi$ のとき最小値 $-5$ 、 $\displaystyle \theta =\frac{\pi }{4}$ のとき最大値 $\displaystyle 4\sqrt{2}+\frac{3}{2}$ をとなります。

(2)最終的に期待値の値を求めなければいけないので、すべての場合の確率を求めておく必要があります。

その一例として $X=7$ の場合が問題として設定してあります。

$X=7$ となる場合は

・2つの組から7を取り出す

・4と1を取り出す

・5と3を取り出す

・6と5を取り出す

の場合が考えられますので、それぞれの場合が起こる確率を求めます。

その確率はそれぞれ $\displaystyle \frac{1}{64},\ \frac{2}{64},\ \frac{2}{64},\ \frac{2}{64}$ でこれらの場合は同時に起こりませんから、和の法則により $X=7$ となる確率は $\displaystyle \frac{7}{64}$ となります。