マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2011年中高共通第6問】

三角関数教員採用試験の過去問

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今週は2011年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第6問です。

今回の問題の原文

関数 $\displaystyle y=\cos^{2}{\theta }-4\sin{\theta }\cos{\theta }-3\sin^{2}{\theta }\ (0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2})$ の最小値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角関数の最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回の問題には置き換えの誘導がありませんので、少し難しいかもしれません。三角関数の相互関係を使って式変形を行うと

$y=1-4\sin{\theta }\cos{\theta }-4\sin^{2}{\theta }$

まで行き着きます。ここからどうやって変形していくかです。2倍角の公式

$2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}$

と半角の公式

$\displaystyle \sin^{2}{x}=\frac{1-\cos{2x}}{2}$

を使うと

$y=2\cos{2\theta }-2\sin{2\theta }-1$

まで変形することができます。あとは三角関数の合成を使って

$\displaystyle y=2\sqrt{2}\sin{\left( 2\theta +\frac{3}{4}\pi \right) }-1$

と変形できます。あとは $\displaystyle 2\theta +\frac{3}{4}\pi$ のとりうる値の範囲を調べて最小を求めます。 $\theta$ のとりうる値の範囲から $\displaystyle \frac{3}{4}\pi \leqq 2\theta +\frac{3}{4}\pi \leqq \frac{7}{4}\pi$ ですので、 $y$ の最小値は $\displaystyle 2\theta +\frac{3}{4}\pi =\frac{\pi }{2}$ すなわち $\displaystyle \theta =\frac{3}{8}\pi$ のとき最小値 $-2\sqrt{2}-1$ をとります。

いかがだったでしょうか？

今回は式変形が難しい三角関数の最小値を求める問題でした。

誘導が無かったので難易度も高くなると思います。

2次の三角関数が出てきてしまった場合は半角の公式を使ってみると良さそうです。

　

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