徳島県教員採用試験の問題【2011年中高共通第7問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2011年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第7問です。

今回の問題の原文

$a,\ b$ を正の整数とするとき、 $\sqrt{2}$ が2数 $\displaystyle \frac{b}{a},\ \frac{2a+b}{a+b}$ の間にあることを証明しなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

数に関する証明問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回の証明は $\displaystyle \left( \sqrt{2}-\frac{b}{a}\right)$ と $\displaystyle \left( \sqrt{2}-\frac{2a+b}{a+b}\right)$ が異符号であることを示せば良いです。そのときの計算が難しいです。結果的に

$\begin{eqnarray*} \left( \sqrt{2}-\frac{b}{a}\right) \left( \sqrt{2}-\frac{2a+b}{a+b}\right) &=&\frac{(\sqrt{2}a-b)^{2}(1-\sqrt{2})}{a(a+b)}\end{eqnarray*}$

となります。ここで $(\sqrt{2}a-b)^{2}\geqq 0,\ 1-\sqrt{2}\lt 0,\ a(a+b)\gt 0$ であることから、 $\displaystyle \left( \sqrt{2}-\frac{b}{a}\right) \left( \sqrt{2}-\frac{2a+b}{a+b}\right) \lt 0$ であることが言えます。したがって、 $\sqrt{2}$ は2数 $\displaystyle \left( \sqrt{2}-\frac{b}{a}\right)$ と $\displaystyle \left( \sqrt{2}-\frac{2a+b}{a+b}\right)$ の間にあることがわかります。

この結果を実験してみます。 $a=1,\ b=1$ と設定すると $\displaystyle \frac{b}{a}=1,\ \frac{2a+b}{a+b}=\frac{3}{2}$ となります。 $\sqrt{2}=1.4$ くらいですので $\displaystyle 1\lt \sqrt{2}\lt \frac{3}{2}$ であることが言えます。 $a=5,\ b=7}と設定すると[tex: \displaystyle \frac{b}{a}=\frac{7}{5},\ \frac{2a+b}{a+b}=\frac{17}{12}$ となります。よって $\displaystyle \frac{7}{5}\lt \sqrt{2}\lt \frac{17}{12}$ が言えます。