マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2017年前期日程第4問】

整数の性質入試問題

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今週は首都大学東京2017年・2018年の問題です。

今回は2017年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

漸化式と不定方程式の融合問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式が与えられている問題は解き方に誘導がついているか、途中まで数列の項の値を求めさせて推測させるという問題構成になっていることが多いです。

今回の場合は第3項から第5項までの値を求めることを要請されているので、漸化式の定義に基づいて求めていきます。

$a_{3}=5,\ a_{4}=12,\ a_{5}=29$

となります。

次の問題は不定方程式 $29x+12y=1$ の整数解を求める問題です。

これ以降は問題の都合上、元の問題から省略しています。

$29x+12y=1$ の整数解の一つは $(x,y)=(5,-12)$ です。

この解を用いて整数解を求めていきますが、 $29\times x+12\times (-12)=1$ が成り立っていますので

$29(x-5)+12(y+12)=0$

が成り立ちます。この式を変形すると $29(x-5)=-12(y+12)$ となります。

$29$ と $12$ の最大公約数は1ですので、整数 $k$ を用いて

$x-5=-12k,\ y+12=29k$

と表すことができます。あとは移項させて $x=-12k+5,\ y=29k-12$ という整数解が得られます。

元の問題の最後は「すべての自然数 $n$ に対して $a_{n}$ と $a_{n+1}$ が互いに素であることを示せ」というものです。

$a_{n}$ と $a_{n+1}$ の最大公約数を $d$ とすると、漸化式より

$dk_{n+1}=2dk_{n}+a_{n-1}$

となりますので、 $a_{n-1}=d(k_{n+1}-2k_{n})$ と表されます。

このことは $a_{n-1}$ が $d$ の倍数であることを示しています。

この考えを繰り返して考えていくと、 $a_{1}$ と $a_{2}$ も $d$ の倍数であることがいえます。

ところが、 $a_{1}=1,\ a_{2}=2$ と定められていますので $d=1$ でなければいけません。

したがって、 $a_{n}$ と $a_{n+1}$ の最大公約数は1、つまり互いに素であることが示せます。

いかがだったでしょうか？

メインは不定方程式の方かと思います。

漸化式の部分は最後の証明で使う程度です。

前半部分は基礎問題になりますので、不定方程式の解き方はチェックしておいた方が良さそうです。

　

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