マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2017年中高共通第6問】

数列教員採用試験の過去問

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今週は2017年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第6問です。

今回の問題の原文

次の条件によって定められる数列 $\{ a_{n}\}$ がある。次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

$a_{1}=2,\ a_{n}a_{n+1}=8a_{n}^{3}\ \ (n=1,2,3,\cdots )$

(1) $b_{n}=\log_{2}{a_{n}}$ とおく。数列 $\{ a_{n}\}$ 、 $\{ b_{n}\}$ の一般項をそれぞれ求めなさい。

(2) $a_{9}$ は何桁の整数か求めなさい。ただし $\log_{10}{2}=0.301$ とする。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

対数関数に置き換える漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

問題の指定通りに置き換えをする

問題に $b_{n}=\log_{10}{a_{n}}$ と置き換えをするように指示が出ていますので、その指示通りに置き換えを行います。次の対数関数の性質に注意して変形を行います。

$\begin{eqnarray*} \log_{2}{PQ}&=&\log_{2}{P}+\log_{2}{Q}\\ \log_{2}{P^{n}}&=&n\log_{2}{P}\end{eqnarray*}$

置き換えにより漸化式は

$b_{n+1}=2b_{n}+3$

と変形できます。このタイプの漸化式は $\alpha =2\alpha +3$ を満たす $\alpha$ を求めて $b_{n+1}-\alpha =2(b_{n}-\alpha )$ と変形することができます。この $\alpha$ を求めると $\alpha =-3$ となりますので、漸化式は

$b_{n+1}+3=2(b_{n}+3)$

と変形することができます。また、 $b_{1}=\log_{2}{2}=1$ ですので、 $b_{1}+3=4$ であることがわかります。したがって、数列 $\{ b_{n}+3\}$ は初項が $4$ 、公比が $2$ の等比数列ですので

$b_{n}+3=2^{n+1}$

となります。したがって、 $b_{n}=2^{n+1}-3$ となります。置き換えをもとに戻すと $a_{n}=2^{2^{n+1}-3}$ となります。

$a_{9}$ の桁数を求める

先ほど求めた $a_{n}$ に $n=9$ を代入すると $a_{9}=2^{1021}$ となります。この数の桁数を求めます。この数の常用対数の値を求めると

$\begin{eqnarray*} \log_{10}{2^{1021}}&=&1021\log_{10}{2}\\ &=&1021\times 0.301\\ &=&307.321\end{eqnarray*}$

となりますので、 $a_{9}$ は $308$ 桁の整数であることがわかります。

いかがだったでしょうか？

今回のタイプの漸化式の問題は旧帝大系の難関大学で出題されることがあるようです。

対数関数に関する知識も必要ですので、復習をしておきたいところです。

置き換えができれば、あとは漸化式を解いて置き換えを戻すだけですが、ここでも指数関数と対数関数に関する知識が必要です。

指数関数と対数関数がメインの問題はあまり見かけませんが、今回のように影で使うことは多いのでマークしておきたいところですね。

　

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