徳島県教員採用試験の問題【2014年中高共通第6問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2014年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第6問です。

今回の問題の原文

次の条件によって定められる数列 $\{ a_{n}\}$ がある。あとの(1)・(2)の問いに答えなさい。

$a_{1}=2,\ (2n+2)a_{n}-na_{n+1}=0\ (n=1,2,3,\cdots$

(1)一般項 $a_{n}$ を求めなさい。

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}$ を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式には形によって解き方が決まっています。今回の漸化式は2項間漸化式ですので、その2項の関係を見ていくと方針が見えてきます。

2項間の関係を見てみる

漸化式を変形すると $na_{n+1}=2(n+1)a_{n}$ となりますが、このままでは一般項を求めることが難しいです。そこで、「 $(n+1)$ に関する式 $=n$ に関する式」にできないかを考えてみます。出てきた式の両辺に $n(n+1)$ で割ると

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1}=2\frac{a_{n}}{n}$

という関係式が出てきます。 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$ とおくと $b_{n+1}=2b_{n}$ となりますので、より見通しが立てやすくなります。この関係式と $b_{1}=2$ であることから、数列 $\{ b_{n}\}$ が初項 $2$ 、公比 $2$ の等比数列であることがわかりますので、 $b_{n}=2^{n}$ となります。あとは置き換えをもとに戻して整理すると $a_{n}=n2^{n}$ となります。

和を求める

必要なことは $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}$ を $n$ の式で表すことですが、この式は公式として教科書には載っていません。ですので、自力で求める必要があります。

$\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}$

とおくと

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccccccccccccc}&S_{n}&=&1&+&2r&+&3r^{2}&+&\cdots &+&nr^{n-1}&&\\ -)&rS_{n}&=&&&r&+&2r^{2}&+&\cdots &+&(n-1)r^{n}&+&nr^{n}\\ \hline &(1-r)S_{n}&=&1&+&r&+&r^{2}&+&\cdots &+&r^{n-1}&-&nr^{n}\end{array} \end{eqnarray*}$