マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数列の問題ver.20220526

数列教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回は埼玉県・さいたま市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

条件を探し出して漸化式を作る問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

長方形の内部に直線を引き、引いた直線によって分けられる平面の個数を求める、という問題です。

平面の分け方については、分割された個数が最も多くなるように分けますが、そのように分けるためには

・どの2本の直線も交わる

・どの3本の直線も1点で交わらない

というように直線を引きます。

漸化式を立てる際は、 $a_{n}$ の意味をしっかり理解することが大切です。

$n$ 本の直線によって、長方形が $a_{n}$ 個の部分に分割されたとします。

この後に考えるべきことは、ここからもう1本の直線を引いたら何個の平面が増えるかというところです。

実際の問題でも図が与えられていますが、図を見ると、直線を2本引いたときは直線を1本引いた時より2つ、直線を3本引いた時は直線を2本引いた時より3つの部分が増えています。

直線が3本の時からもう1本、上の条件を満たすように直線を引くと、新たに引いた直線は4つのエリアを2つに分割しますので、 $a_{4}=a_{3}+4$ という関係式が出てきます。

ここまでと同じように考えると、数列 $\{ a_{n}\}$ には次の関係式があることがわかります。

$a_{1}=2,\ a_{n+1}=a_{n}+n+1$

これで漸化式を立てることができました。この漸化式から一般項を求めます。

移項すると $a_{n+1}-a_{n}=n+1$ となります。

これは、数列 $\{ a_{n}\}$ の階差数列が $n+1$ であることを意味しますので、数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項は $n\geqq 2$ のとき

$\displaystyle a_{n}=2+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)$

$\displaystyle =2+\frac{1}{2}n(n-1)+(n-1)$

$\displaystyle =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+1$

となります。この結果に $n=1$ を代入すると $2$ となり、 $a_{1}$ に等しいので、これは $n=1$ のときも成り立ちます。

これで数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項が出たわけですが、目標は「平面が67個の部分に分けられるとき、最も少ない本数で何本の直線を引けばいいか」を求めることです。

これについては $a_{n}=67$ を満たす自然数 $n$ を求めれば良いです。

いかがだったでしょうか？

図形と漸化式の問題は漸化式を立てる問題ではよく出てくる問題ではないでしょうか。

私も漸化式を立てる問題に初めて出会したのは「 $n$ 個の円によって平面は何個の部分に分けられるか」という問題でした。

このような問題には慣れておかないといけないのかなぁ。図形は少し苦手ですが頑張ろうと思います。

　

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