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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!
今週は共通テスト前の確認数学Ⅱ+B編です。
今回は数列の問題です。
今回の問題の原文
1.数列と
が次の条件によって定められている。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)数列の一般項を求めよ。
(2)数列の一般項を求めよ。
(3)和を
を用いて表せ。
2.次の数列を考える。
この数列の第項を
とし、この数列において分母が等しい項に群分けを行うことを考える。このとき、次の問いに答えよ。
(1)番目に含まれるすべての項の和を求めよ。
(2)和を求めよ。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
基礎的な漸化式の問題と群数列の問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
(1)数列は漸化式から初項
、公差が
の等差数列ですので一般項は
となります。数列
のようなタイプの漸化式の解き方は、特性方程式というものを解きます。今回の場合の特性方程式は
です。この方程式の解はとなります。したがって、数列
の漸化式を変形すると
となります。となりますので、数列
は初項が
、公比
の等比数列となりますので
したがって、となります。
最後はを求める問題ですが、この問題は和の公式が使えるかどうかを試されるものです。重要な公式は
です。これらを使って計算をしていくと
(2)群数列の問題です。与えられた数列を
のように群分けを行います。群数列でやっておきたいことは
・群分けをした最初の項は全体の何番目の項か?
・群分けをした最後の項は全体の何番目の項か?
・群分けをしたとき、同じ群に属する項すべての項の和がいくらか?
の3つで、群数列の問題構成はこの3つの問題であることが多いです。今回の問題は3番目の問題になります。
群分けの法則を見てみると、番目の群に
個、
番目の群には
個の項が含まれており、ずっと先を見ていくと
番目の群には
個の項が含まれています。よって、
番目の群に含まれる項すべての和は
となります。したがって、最後の和は
となります。
いかがだったでしょうか?
数列の単元の基本事項を使う問題を作成してみました。
漸化式がメインになるかと思いますので、漸化式の解き方をチェックしておくと良いかと思います。
その前に等差数列と等比数列が重要になりますので、そこも要チェックです。
群数列については解くテクニックを身に着けておいたほうが良いです。やることは大まかに言うと上で挙げた3つになります。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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