共通テスト前の確認数学Ⅱ＋B編【数列】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は共通テスト前の確認数学Ⅱ＋B編です。

今回は数列の問題です。

今回の問題の原文

1.数列 $\{ a_{n}\}$ と $\{ b_{n}\}$ が次の条件によって定められている。

$\begin{eqnarray*} a_{1}=2&,&a_{n+1}=a_{n}+3\\ b_{1}=1&,&b_{n+1}=3b_{n}+2\end{eqnarray*}$

このとき、次の問いに答えよ。

(1)数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(2)数列 $\{ b_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(3)和 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})$ を $n$ を用いて表せ。

2.次の数列を考える。

$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \cdots$

この数列の第 $n$ 項を $a_{n}$ とし、この数列において分母が等しい項に群分けを行うことを考える。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $k$ 番目に含まれるすべての項の和を求めよ。

(2)和 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}$ を求めよ。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

基礎的な漸化式の問題と群数列の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)数列 $\{ a_{n}\}$ は漸化式から初項 $2$ 、公差が $3$ の等差数列ですので一般項は $a_{n}=3n-1$ となります。数列 $\{ b_{n}\}$ のようなタイプの漸化式の解き方は、特性方程式というものを解きます。今回の場合の特性方程式は

$\alpha =3\alpha +2$

です。この方程式の解は $\alpha =-1$ となります。したがって、数列 $\{ b_{n}\}$ の漸化式を変形すると

$b_{n+1}+1=3(b_{n}+1)$

となります。 $b_{1}+1=2$ となりますので、数列 $\{ b_{n}+1\}$ は初項が $2$ 、公比 $3$ の等比数列となりますので

$b_{n}+1=2\cdot 3^{n-1}$

したがって、 $b_{n}=2\cdot 3^{n-1}-1$ となります。

最後は $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})$ を求める問題ですが、この問題は和の公式が使えるかどうかを試されるものです。重要な公式は

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}1=n$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}r^{n-1}=\frac{r^{n}-1}{r-1}\ (r\not= 0,1)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(\alpha a_{k}+\beta b_{k})=\alpha \sum_{k=1}^{n}a_{k}+\beta \sum_{k=1}^{n}b_{k}$

です。これらを使って計算をしていくと

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})&=&\sum_{k=1}^{n}(3k-1)+\sum_{k=1}^{n}(2\cdot 3^{n-1}-1)\\ &=&\frac{3}{2}n(n+1)-n+2\cdot \frac{3^{n}-1}{3-1}-n\\ &=&3^{n}+\frac{3}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n-1\end{eqnarray*}$

(2)群数列の問題です。与えられた数列を

$\displaystyle \frac{1}{1}\ |\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2}\ |\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3}\ |\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4}\ |\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},\ \cdots$

のように群分けを行います。群数列でやっておきたいことは

・群分けをした最初の項は全体の何番目の項か？

・群分けをした最後の項は全体の何番目の項か？

・群分けをしたとき、同じ群に属する項すべての項の和がいくらか？

の3つで、群数列の問題構成はこの3つの問題であることが多いです。今回の問題は3番目の問題になります。

群分けの法則を見てみると、 $1$ 番目の群に $1$ 個、 $2$ 番目の群には $2$ 個の項が含まれており、ずっと先を見ていくと $k$ 番目の群には $k$ 個の項が含まれています。よって、 $n$ 番目の群に含まれる項すべての和は

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}=\frac{1}{n}\times \frac{1}{2}n(n+1)=\frac{n+1}{2}$

となります。したがって、最後の和は

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}a_{k}&=&\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{2}\\ &=&\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}n(n+1)+\frac{n}{2}\\ &=&\frac{1}{4}n^{2}+\frac{3}{4}n\end{eqnarray*}$