数列の問題ver.20220527 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回は宮城県・仙台市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

ある規則性で分数が並んでいますが、この数列を群分けすることがポイントです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

規則性を見て群分けを行います。次のように群分けをしてみます。

$\displaystyle \frac{1}{1}\mid \frac{1}{2},\frac{2}{1}\mid \frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1}\mid \frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1}\mid \frac{1}{5},\frac{2}{4},\frac{3}{3},\cdots$

同じ群に属する項は、分母と分子の数の和が同じです。

このようにして群分けしたとき、同じ群に属する項に共通点があるよに群分けを行うと見通しが良くなります。

群分けをした数列を見てみると、1番目の群は分母と分子の和が2の分数、3番目の群には分母と分子の和が4の分数が属しています。

また、同じ群の $m$ 番目には分子が $m$ の分数がありますので、第 $n$ 群の $m$ 番目の項の数は $\displaystyle \frac{m}{n-m+1}$ であることがわかります。

同じ群に属する項の個数も必ず確認しておきます。

順番に見ていくと、1番目の群には1個の項、2番目の群には2個の項、3番目の群には3個の項があります。

規則性を考えると、 $n$ 番目の群には $n$ 個の項があることがわかります。

ですので、 $n$ 番目の群の最後の項は $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$ 番目の項であることがわかります。

同じように考えますと、 $n-1$ 番目の群の最後の項は $\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)$ 番目の項となりますが、この次の項が $n$ 番目の群の最初の項となりますので、 $n$ 番目の群の最初の項は $\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+1$ 番目の項であることがわかります。

このことを使って $a_{k}$ がどの群に属するかを探ります。

これは $\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+1\leqq k\leqq \frac{1}{2}n(n+1)$ を満たす自然数 $n$ を探せば良いです。

例えば、(1)の問題のように $a_{30}$ であれば、 $\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+1\leqq 30\leqq \frac{1}{2}n(n+1)$ を満たす自然数は $n=8$ ですので、 $a_{30}$ は8番目の群に属する項であることがわかります。