東京女子大学の問題【2021年2日目第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は東京女子大学2021年の問題です。

今回は文系学部2日目第2問です。

難易度は☆☆☆です。

数列の和から一般項を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

初項から第 $n$ 項までの和が与えられていますので、ここから数列の一般項を求めます。

まず、 $a_{1}=S_{1}$ ですので、条件から $a_{1}=1$ です。

$n\geqq 2$ のときは $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ なので $a_{n}=3n-2$ となり、これは $n=1$ のときも成り立ちます。

後半の和を求める問題については、部分分数展開を用いると項がうまく消えて計算を楽にすることができます。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}a_{k+1}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(3k-2)(3k+1)}$

$\displaystyle =\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right)$

$\displaystyle =\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\cdots -\frac{1}{3n+1}\right)$

$\displaystyle =\frac{n}{3n+1}$

今回の問題は基礎的な問題が組み合わさった問題でした。

定期テストでも出そうな問題かもしれません。

他の入試問題でも出てくることがあるので押さえておきたい問題です。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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