マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数列の問題ver.20220528

数列教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回は兵庫県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

群数列の問題です。各群の規則性を見つけていきます。

都合上、元の問題から一部変えてあります。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回の群数列は昨日の問題と違って最初から群分けがされています。

この場合は各群の規則性を見つけていきます。

$k(=1,2,\cdots )$ 番目の群の最初の項は $k$ で、 $k$ 個の項が属しています。

このことを使って問題を解いていきます。

元々の問題の最初のは「各群の最後の数は奇数であることを示せ」というものがありました。

これについては、第 $k$ 群に属する項は初項 $k$ 、公差1、項数 $k$ の等差数列ですので、第 $k$ 群に属する項の最後の数は

$k+(k-1)=2k-1$

となります。 $k$ は自然数ですので、 $2k-1$ は奇数となります。

この事実がこの問題の(1)のヒントになります。

初めて2004が現れる群の最後の数は先程の事実から2005と考えられます。したがって

$2k-1=2005$

となるような自然数 $k$ を求めれば良いことになります。その $k$ を求めると $k=1003$ となります。

2004はその群の最後から1つ手前の項ですので1003番目の群の1002番目項であることがわかります。

(2)については、まず $S(m,m)\geqq 2004$ を満たす最小の自然数 $m$ を探します。

$S(m,m)$ は $m$ 番目の群の最後までの和を意味しますので、先に各々の群においてその群に属する全ての項の和を求めます。

$m$ 番目の群に属する全ての項の和は、初項が $m$ 、末項が $2m-1$ 、項数が $m$ の等差数列の和になりますから

$\displaystyle \frac{1}{2}m\{ m+(2m-1)\} =\frac{1}{2}m(3m-1)=\frac{1}{2}(3m^{2}-m)$

となります。したがって、 $m$ 番目の群の最後までの項の和は

$\displaystyle S(m,m)=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{2}(3k^{2}-m)=\frac{1}{2}m^{2}(m+1)$

となります。したがって $S(m,m)\geqq 2004$ を満たす自然数 $m$ は $m=16$ となります。

次に $S(16,n)\geqq 2004$ を満たす最小の自然数 $n$ を探します。

16番目の群の最初の項が16ですので、 $S(16,1)=S(15,15)+16=1816$ となります。

16番目の群の最初の項から $n$ 番目までの項の和は、初項16、末項 $16+n$ 、項数 $n$ の等差数列の和ですので、 $\displaystyle \frac{1}{2}n\{ 16+(16+n)\}=\frac{1}{2}n(32+n)$ となります。

したがって $\displaystyle S(16,n)=S(15,15)+\frac{1}{2}n(n+32)\geqq 2004$ となる自然数 $n$ を探すと $n=10$ が求める $n$ の数値となります。

いかがだったでしょうか？

群数列は群の最初と最後の項が重要になってきます。

この正体がわかれば怖いものはないです。

　

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