マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数列の問題ver.20220523

数列教員採用試験の過去問

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回の問題は京都市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

数列 $\{ b_{n}\}$ の取り方がヒントですが、これがうまく使えるかどうかがポイントになりそうです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まずは、数列 $\{ b_{n}\}$ の与え方から、この数列の一般項を求めてみます。

数列の一般項を求めるには

・等差数列か等比数列であることを導く

・漸化式を導く

この2択になるかと思います。

効率が良いのは後者の漸化式を導く方法でしょうか。

等差数列、等比数列どちらかわからない場合にも使えます。

数列 $\{ b_{n}\}$ の定義から漸化式を立てていきますが、いきなりやろうとすると方針が見えませんので、 $n=1,\ n=2,\ n=3$ くらいまで実験をしてみて、規則性を見つけていきます。

$\displaystyle b_{2}=a_{1}\times a_{2}=a_{1}(4-\frac{3}{a_{1}})=4a_{1}-3$

$\displaystyle b_{3}=a_{1}\times a_{2}\times a_{3}=a_{1}\times a_{2}(4-\frac{3}{a_{2}})=4a_{1}\times a_{2}-3a_{1}$

$\displaystyle b_{4}=a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times a_{4}=a_{1}\times a_{2}\times a_{3}(4-\frac{3}{a_{3}})=a_{1}\times a_{2}(4a_{3}-3)$

こんな感じで実験をしてみると、最後2つの因数に注目すると

$a_{n}\times a_{n+1}=4a_{n}-3$

という関係式があることがわかります。

この関係式の両辺に $a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times \cdots \times a_{n-1}$ をかけると

$b_{n+1}=4b_{n}-3b_{n-1}$

という関係式が出てきます。この関係式から

$b_{n+2}=4b_{n+1}-3b_{n}$

が成り立つこともわかりますので、この関係式を使って数列 $\{ b_{n}\}$ の一般項を求めます。

3項間漸化式は、特性方程式を解いて、その解に応じて漸化式を変形するのですが、今回の場合の特性方程式は

$x^{2}-4x+3=0$

となります。

この特性方程式の解は $x=1,3$ ですので、漸化式は次の2通りに式変形ができます。

$b_{n+2}-3b_{n+1}=b_{n+1}-3b_{n}\ \cdots (1)$

$b_{n+2}-b_{n}=3(b_{n+1}-b_{n})\ \cdots (2)$

式(1)について考えてみます。

この式は数列 $\{ b_{n+1}-3b_{n}\}$ の関係式であると考えると、初項は $b_{2}-3b_{1}=1$ 、公比 $1$ の等比数列となりますので

$b_{n+1}-3b_{n}=1\ \cdots (3)$

ということになります。

式(2)について考えますと、数列 $\{ b_{n+1}-b_{n}\}$ の関係式であると考えれば、初項 $b_{2}-b_{1}=9$ 、公比 $3$ の等比数列となりますので

$b_{n+1}-b_{n}=3^{n+1}\ \cdots (4)$

ということになります。式(3)と式(4)から $b_{n}$ を求めますと

$\displaystyle b_{n}=\frac{3^{n+1}-1}{2}$

になります。

数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項 $a_{n}$ を数列 $\{ b_{n}\}$ の項を用いて表すと

$\displaystyle a_{n}=\frac{b_{n}}{b_{n-1}}$

となりますので、先ほど求めた $b_{n}$ を用いて $a_{n}$ を求めます。

いかがだったでしょうか？

数列 $\{b_{n}\}$ の関係式を導くことが少し難しいです。

どうにかして定義式に持っていけないか、という考えをしていかないといけないのかもしれません。

　

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