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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!
今週は2006年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。
今回は中高共通問題第3問です。
今回の問題の原文
という関係で定められた数列がある。次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1)を求めなさい。また、この数列の一般項を推定しなさい。
(2) (1)の推定が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明しなさい。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
漸化式から一般項を推定して、それが正しいことを示すタイプの数列の問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
関係式において、とすると
となります。との値は与えられていますので、それらの数値を代入して計算すると
となりますので、になります。同じように計算をしていくととなりますので、一般項はと推定できます。この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明します。
およびのときは定義より指定は正しい。
およびのとき、この推定が正しいと仮定する。このとき
したがって、となり、のときもこの推定は正しい。
ということで、数学的帰納法によって推定が正しいことが証明できました。
今回のように一般項を推定した場合は、それが正しいことを証明する必要があります。
いかがだったでしょうか?
漸化式が複雑な場合は推定をしてそれが正しいことを示します。
漸化式の問題は、式変形で等差数列や等比数列の形に持っていくのが一般的ですが、それができない場合は推定をして正しいことを証明することになります。
まぁ、最終手段ということになるのでしょうか。できればこの方法は使いたくないですね。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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