マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2006年中高共通第3問】

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今週は2006年実施の徳島県教員採用試験の専門教養数学の問題です。

今回は中高共通問題第3問です。

今回の問題の原文

 \displaystyle a_{1}=1,\ a_{2}=\frac{1}{2},\ (n+2)(n+3)a_{n+2}=na_{n}+(n+1)(n+2)a_{n+1}

 n=1,2,3,\cdots

という関係で定められた数列 \{ a_{n}\}がある。次の(1)、(2)の問いに答えなさい。

(1) a_{3},\ a_{4},\ a_{5}を求めなさい。また、この数列の一般項 a_{n}を推定しなさい。

(2) (1)の推定が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明しなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

漸化式から一般項を推定して、それが正しいことを示すタイプの数列の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

関係式において、 n=1とすると

 3\times 4a_{3}=a_{1}+2\times 3a_{2}

となります。 a_{1} a_{2}の値は与えられていますので、それらの数値を代入して計算すると

 12a_{3}=1+3

となりますので、 \displaystyle a_{3}=\frac{1}{3}になります。同じように計算をしていくと \displaystyle a_{4}=\frac{1}{4},\ a_{5}=\frac{1}{5}となりますので、一般項は \displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}と推定できます。この推定が正しいことを数学的帰納法を用いて証明します。

 n=1および n=2のときは定義より指定は正しい。

 n=kおよび n=k+1のとき、この推定が正しいと仮定する。このとき

 \begin{eqnarray*} (k+2)(k+3)a_{k+2}&=&ka_{k}+(k+1)(k+2)a_{k+1}\\ &=&1+k+2\\ &=&k+3\end{eqnarray*}

したがって、 \displaystyle a_{k+2}=\frac{1}{k+2}となり、 n=k+2のときもこの推定は正しい。

ということで、数学的帰納法によって推定が正しいことが証明できました。

今回のように一般項を推定した場合は、それが正しいことを証明する必要があります。

いかがだったでしょうか?

漸化式が複雑な場合は推定をしてそれが正しいことを示します。

漸化式の問題は、式変形で等差数列や等比数列の形に持っていくのが一般的ですが、それができない場合は推定をして正しいことを証明することになります。

まぁ、最終手段ということになるのでしょうか。できればこの方法は使いたくないですね。

 

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