マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2011年前期日程第4問】

数列入試問題

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今週は首都大学東京の2011年・2012年の問題です。

今回は2011年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

積の形で表された数列に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

数列の具体的な数値を求める問題は、数値を実際に入れてみて求めていきます。

$\displaystyle a_{1}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$\displaystyle a_{2}=\left( 1-\frac{1}{4}\right) \left( 1-\frac{1}{9}\right) =\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}=\frac{2}{3}$

$\displaystyle a_{3}=\left( 1-\frac{1}{4}\right) \left( 1-\frac{1}{9}\right) \left( 1-\frac{1}{16}\right) =\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}=\frac{5}{8}$

$\displaystyle a_{4}=\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}\times \frac{24}{25}=\frac{3}{5}$

ですので

$2\times 2a_{1}=3$

$2\times 3a_{2}=4$

$2\times 4a_{3}=5$

$2\times 5a_{4}=6$

となります。この法則から $2(n+1)a_{n}=n+2$ であることが推測されます。

これが正しいことは数学的帰納法により証明します。

$n=1$ のときは先ほど求めた通り正しいです。

$n=k$ のときこの推測が正しいと仮定して、 $n=k+1$ のときを考えると、 $a_{n}$ の定義から

$\displaystyle a_{k+1}=a_{k}\times \left( 1-\frac{1}{(k+2)^{2}}\right)$

ですので、

$\displaystyle 2(k+1+1)a_{k+1}=2(k+2)a_{k}\frac{(k+2)^{2}-1}{(k+2)^{2}}$

$\displaystyle =2(k+2)a_{k}\frac{(k+1)(k+3)}{(k+2)^{2}}$

$\displaystyle =2(k+1)a_{k}\frac{(k+2)(k+3)}{(k+2)^{2}}$

$\displaystyle =(k+2)\frac{(k+2)(k+3)}{(k+2)^{2}}$

$\displaystyle =(k+3)=\{ (k+1)+2\}$

となり、 $n=k+1$ のときも推測が正しいことが証明できます。

したがって、数列 $\{ a_{n}\}$ の一般項は $\displaystyle a_{n}=\frac{n+2}{2(n+1)}$ であることがわかります。

$\displaystyle a_{n}\gt \frac{1}{2}+\frac{100}{n^{2}}$ をみたす $n$ を求めると、

$\displaystyle \frac{n+2}{2(n+1)}\gt \frac{1}{2}+\frac{100}{n^{2}}$

ですので、この不等式を整理すると

$n^{2}-200n-200\lt 0$

となりますので、この2次不等式を解くと $n\gt 0$ より $n\gt 100+\sqrt{10200}$ となります。

$\sqrt{10000}=100\lt \sqrt{10200}\lt 101=\sqrt{10201}$ であることに注意すると、この不等式をみたす最小の自然数の値は201となります。

いかがだったでしょうか？

推測するところまではそこまで難しくはないかと思います。

最後の不等式をみたす最小の自然数を求めることが難しいかと思います。

根号を含む値の大小関係さえ分かれば求められますが、ここに慣れるためにはたくさん問題を解くしかないのでしょうか…。

　

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