マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2012年前期日程第1問】

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今週は首都大学東京2011年・2012年の問題です。

今回は2012年文系学部前期日程第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

さいころ投げの確率の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

ほとんどが反復試行の確率の考え方で求めることができます。

3の倍数の目がそれ以外の目より1回だけ多く出る場合は「3の倍数の目が3回、それ以外の目が2回出る」場合なので、この場合が起こる確率は

 \displaystyle _{5}C_{3}\left( \frac{1}{3}\right) ^{3}\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}=\frac{40}{243}

となります。

3の倍数の目がそれ以外の目より2回以上多く出る場合は

・3の倍数が4回、それ以外の目が1回出る

・3の倍数が5回出る。(それ以外の目は出ない)

の2つの場合が考えられます。

3の倍数が4回、それ以外の目が1回出る確率は \displaystyle _{5}C_{4}\left( \frac{1}{3}\right) ^{4}\left( \frac{2}{3}\right) =\frac{10}{243}です。

また、5回とも3の倍数の目が出る確率は \displaystyle \left( \frac{1}{3}\right) ^{5}=\frac{1}{243}です。

これら2つの場合は同時に起こりませんので、和の法則により \displaystyle \frac{10}{243}+\frac{1}{243}=\frac{11}{243}となります。

3の倍数が出る回数を x、それ以外の目が出る回数を yとすると、5回試行を行うので y=5-xとなります。

したがって、 x^{2}+y^{2} xだけの式で表すと

 x^{2}+y^{2}=x^{2}+(5-x)^{2}

 =x^{2}+25-10x+x^{2}

 \displaystyle =2x^{2}-10x+25=2\left( x-\frac{5}{2}\right) ^{2}-\frac{25}{2}

となりますので、 x^{2}+y^{2}の値が最小値となる場合は (x,y)=(2,3),\ (3,2)の場合であることがわかります。

したがって、以下の場合の確率を求めれば良いということになります。

・3の倍数の目が2回、それ以外の目が3回出る

・3の倍数の目が3回、それ以外の目が2回出る

それぞれの確率は \displaystyle \frac{80}{243},\ \frac{40}{243}で、これらの場合は同時に起こりませんので、和の法則により

 \displaystyle \frac{80}{243}+\frac{40}{243}=\frac{120}{243}=\frac{40}{81}

となります。

いかがだったでしょうか?

反復試行の確率の式を使えば解けるような問題でした。

反復試行の確率の問題は良く出題されるのでおさえておきたい問題です。

最後の問題が少し難しかったのではないでしょうか。

2次関数の知識も必要な問題でした。

 

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