マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京未来大学の問題ver.20220818

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今週は東京未来大学2020年の問題です。

今回は1日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

循環小数に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)分数を小数で表したとき、その数が循環小数有限小数かの判定は、分母を素因数分解をして、出てきた素数が2と5以外が1つでもあれば循環小数、2と5しか出なければ有限小数となります。

 \displaystyle \frac{78}{65}については、分母と分子とも13の倍数ですので、約分をすると \displaystyle \frac{6}{5}となり、この数は有限小数です。

それ以外の分数は約分ができません。

しかも、分母を素因数分解すると2と5以外の素数が出現しますので循環小数であることもわかります。

それらの分数を循環小数で表すと

 \displaystyle \frac{16}{30}=0,5\dot{3}\ ,\ \frac{40}{11}=3.\dot{6}\dot{3}\ ,\ \frac{12}{55}=0.2\dot{1}\dot{8}

となります。

このうち小数第1位から小数第100位までの数の和が一番大きくなるものは \displaystyle \frac{40}{11}です。

和は以下のように考えます。

 \displaystyle \frac{16}{30}の場合 :\ 5+3\times 99=302

 \displaystyle \frac{40}{11}の場合 :\ (6+3)\times 50=450

 \displaystyle \frac{12}{55}の場合 :\ 2+(1+8)\times 49+1=444

(2)2個のさいころを同時に投げて同じ目が出る確率は、出る目が1から6の6通りあるので、 \displaystyle \frac{6}{36}=\frac{1}{6}です。

異なる目が出るという事象はこの余事象なので、異なる目が出る確率は \displaystyle 1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}となります。

作った分数が循環小数となるのは、できた分数が以下のようになるときです。

 \displaystyle \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{4}{3}.\ \frac{5}{3},\ \frac{1}{6},\ \frac{2}{6},\ \frac{4}{6},\ \frac{5}{6}

全部で8個ありますので、循環小数になる確率は \displaystyle \frac{8}{36}=\frac{2}{9}です。

(3)前問で小のさいころが正八面体に変わっただけです。

作った分数が有限小数で、かつ整数になっていないものは以下のようになるときです。

 \displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{3}{2},\ \frac{5}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{5}{4},\ \frac{6}{4},\ \frac{1}{5},\ \frac{2}{5},

 \displaystyle \frac{3}{5},\ \frac{4}{5},\ \frac{6}{5},\ \frac{3}{6},\ \frac{1}{8},\ \frac{2}{8},\ \frac{3}{8},\ \frac{4}{8},\ \frac{5}{8},\ \frac{6}{8}

全部で20個ありますので、求める確率は \displaystyle \frac{20}{48}=\frac{5}{12}となります。

いかがだったでしょうか?

循環小数を使った問題でしたが、珍しいですね。

少し面白い問題だと思いました。

地道に数えていけば解けますのでそれほど難しい問題ではないです。

 

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