マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2022年1日目第2問・第3問】

数列指数関数と対数関数入試問題

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今週は東京女子大学2022年の問題です。

今回は文系学部1日目第2問と第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

等差数列の問題と小数に関する常用対数の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)数列 $\{ a_{n}\}$ と数列 $\{ b_{n}\}$ を順に並べていくと次のようになります。

$a_{n}: 4,7,10,13,16,19,22,28,31,34,37,40,\cdots$

$b_{n}:-2,5,12,19,26,33,40,47,54,61,68,\cdots$

数列 $\{ c_{n}\}$ はこれら2つの数列において共通する項を小さい順に並べたものですので、数列 $\{ c_{n}\}$ を並べてみると

$c_{n}:19,40,61,\cdots$

となります。ここから $c_{n}=21n-2$ であることがわかります。

求める数値は $c_{n}\leqq 200$ をみたす項の和ですので、 $c_{n}\leqq 200$ をみたす自然数 $n$ の範囲を求めると $n\leqq 9$ となります。

したがって、求める和は $\displaystyle \sum_{k=1}^{9}c_{k}=927$ となります。

(2)桁数や小数点以下に続く0の個数を求めるときには常用対数を用います。

今回は $\displaystyle \left( \frac{5}{6}\right) ^{n}$ を小数で表したとき、小数点以下第4位まで0が続き、小数点以下第5位には0以外の数が現れる自然数 $n$ の範囲を求めます。

対数関数を扱うときは、次の性質に注意します。

・ $\log_{a}{PQ}=\log_{a}{P}+\log_{a}{Q}$

・ $\displaystyle \log_{a}{\frac{P}{Q}}=\log_{a}{P}-\log_{a}{Q}$

・ $\log_{a}{P^{n}}=n\log_{a}{P}$

・ $\displaystyle \log_{a}{P}=\frac{\log_{c}{P}}{\log_{c}{a}}$ （底の変換公式）

$\displaystyle \left( \frac{5}{6}\right) ^{n}$ に常用対数をとると、対数関数の性質より $n(\log_{10}{5}-\log_{10}{6})$ になります。

ここで $\log_{10}{5}$ の値と $\log_{10}{6}$ の値を求めておくと、 $\displaystyle 5=\frac{10}{2}$ であることに注意すると

$\log_{10}{5}=1-\log_{10}{2}=0.6990$

$\log_{10}{6}=\log_{10}{2}+\log_{10}{3}=0.7781$

となりますので、 $\displaystyle \log_{10}{\left( \frac{5}{6}\right) ^{n}}=-0.0791n$ となります。

満たすべき条件は

$-5\leqq -0.0791n\lt -4$

ですので、この不等式を満たす自然数 $n$ は $51$ 以上 $63$ 以下となります。

いかがだったでしょうか？

2問とも基礎的な問題でした。

どちらも教科書用の問題集に載っているような問題ですので、数学Ⅱや数学Ｂで出題された定期テストの課題を見直すのも良いかもしれません。

計算が難しいのでここで慣れておくのも良いと思います。

　

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