倉敷芸術科学大学の過去問【2005年一般入試A日程必須問題】

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今回の問題

今回は倉敷芸術科学大学の2005年一般入試で出題された問題です。

この年のA日程は必須問題が6問、選択問題が6問ありますので分けて解説していきます。

今回は必須問題の6問です。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

出題範囲は数学Ⅰ・Aの範囲（2005年時点）で、難しい問題は出ていません。教科書の問題が対応できれば解ける問題ばかりです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

整式 $2x^{3}-x^{2}-kx-2$ が $x^{2}-x-2$ で割り切れるとき、定数 $k$ の値および商を求めよ。

第1問の解説

割り算の筆算を行うことにより求めることができます。（計算は省略）そうすると

$2x^{3}-x^{2}-kx-2=(x^{2}-x-2)(2x+1)+(5-k)x$

であることがわかります。

条件は「割り切れる」 $=$ 「あまりが $0$ 」ということですので

$(5-k)x=0$

がどんな $x$ についても成り立つように $k$ の値を定めれば良いということになります。

それを求めると $k=5$ で、商は $2x+1$ です。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

整式 $x^{4}-7x^{2}-18$ を因数分解せよ。

第2問の解説

$x^{2}=t$ とおくと方針が見えやすくなると思います。

解く方針としては

①置き換える

②因数分解

③置き換えをもとに戻す

④さらに因数分解できるかどうかを確認する

という感じです。以下のように計算していきます。

$\begin{eqnarray*} x^{4}-7x^{2}-18&=&t^{2}-7t-18\\ &=&(t-9)(t+2)\\ &=&(x^{2}-9)(x^{2}+2)\\ &=&(x-3)(x+3)(x^{2}+2)\end{eqnarray*}$

問題と問題の解説（第3問）

第3問

$2$ 次関数 $y=a(x-p)^{2}+q$ のグラフが $2$ 点 $(2,-1),\ (8,5)$ を通り、軸の方程式が $x=4$ であるとき、定数 $a,\ p,\ q$ のそれぞれの値を求めよ。

第3問の解説

軸の方程式が $x=4$ なので、 $p=4$ であることがわかります。

$2$ 点 $(2,-1),\ (8,5)$ を通るので、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} 4a+q&=&-1\\ 16a+q&=&5\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $\displaystyle a=\frac{1}{2},\ q=-3$ となります。

問題と問題の解説（第4問）

第4問

$a=x+y,\ b=xy$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $x^{3}+y^{3}$ を $a,\ b$ を用いて表せ。

(2) $x^{4}+y^{4}$ を $a,\ b$ を用いて表せ。

第4問の解説

文字を入れ替えても値が変わらない式を対称式といいます。

すべての対称式は基本対称式を使って表すことができますが、今回の場合は $x+y$ と $xy$ が基本対称式です。

$x^{3}+y^{3}$ と $x^{4}+y^{4}$ はともに対称式ですが、次のようにして基本対称式を使って表すことができます。

$x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$

$x^{4}+y^{4}=(x+y)^{4}-4xy(x+y)^{2}+2(xy)^{2}$

これらの等式は $(x+y)^{3}$ 、 $(x+y)^{4}$ の展開式から得ることができます。

例えば、 $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$ …①は次のようにして導き出します。

$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$

なので、この等式を変形すると

$x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}$

この右辺を変形すると $(x+y)^{3}-3xy(x+y)$ となるので、等式①が得られます。

これらを $a,\ b$ を用いて表すと

$x^{3}+y^{3}=a^{3}-3ab$

$x^{4}+y^{4}=a^{4}-4a^{2}b+2b^{2}$

となります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

円に内接する四角形 $ABCD$ において、 $AB=3,\ BC=CD=5,\ \angle ABC=120^{\circ}$ である。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $AC$ の長さを求めよ。

(2)四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

第5問の解説

図を描くと以下のようになります。図を描くことが目的ではないので、正確に描かなくても大丈夫です。

(1) $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} AC^{2}&=&AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos{\angle ABC}\\ &=&9+25-2\cdot 3\cdot 5\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \\ &=&49\end{eqnarray*}$

$AC\gt 0$ なので $AC=7$ です。

(2) $\triangle ACD$ に余弦定理を用いると

$49=AD^{2}-5AD+25$

これを整理すると

$AD^{2}-5AD-24=0$

となります。この $2$ 次方程式を解くと、 $AD\gt 0$ より $AD=8$ が得られます。

四角形 $ABCD$ は円に内接するので、向かい合う角の大きさの和は $180^{\circ }$ となります。

この性質を用いると $\angle CDA=180^{\circ }-\angle ABC=60^{\circ }$ であることがわかります。

したがって、四角形 $ABCD$ の面積は $\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ の面積の和なので、四角形 $ABCD$ の面積を $S$ とすると

$\begin{eqnarray*} S&=&\triangle ABC +\triangle CDA\\ &=&\frac{1}{2}\times 3\times 5\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\times 5\times 8\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ &=&\frac{55\sqrt{3}}{4}\end{eqnarray*}$

となります。

問題と問題の解説（第6問）

第6問

白と黒の碁石が合計 $36$ 個入っている袋の中から、 $3$ 個の碁石を同時に取り出すとき、その $2$ 個が同色である確率が $\displaystyle \frac{3}{4}$ であるという。箱の中にある白の碁石の個数を求めよ。

第6問の解説

箱の中にある白の碁石の数を $x$ 個とすると、黒の碁石の数は碁石の合計が $36$ 個なので $(36-x)$ 個となります。

$3$ 個の碁石を同時に取り出すとき、そのうちの $2$ 個が同色となるのは

・白の碁石が $2$ 個、黒の碁石が $1$ 個

・黒の碁石が $2$ 個、白の碁石が $1$ 個

となる場合です。

白の碁石が $2$ 個、黒の碁石が $1$ 個である確率は

$\displaystyle \frac{\ _{x}C_{2}\times \ _{(36-x)}C_{1}}{_{36}C_{3}}$

黒の碁石が $2$ 個、白の碁石が $1$ 個である確率は

$\displaystyle \frac{\ _{x}C_{1}\times \ _{(36-x)}C_{2}}{_{36}C_{3}}$

です。これらの場合は同時には起こりませんので、確率の和の法則より、 $2$ 個同色になる確率は

$\displaystyle \frac{\ _{x}C_{2}\times \ __{(36-x)}C_{1}}{_{36}C_{3}}+\frac{\ _{x}C_{1}\times \ _{(36-x)}C_{2}}{_{36}C_{3}}$

となります。この確率が $\displaystyle \frac{3}{4}$ ですので、次の方程式が成り立ちます。

$\displaystyle \frac{\ _{x}C_{2}\times \ __{(36-x)}C_{1}}{_{36}C_{3}}+\frac{\ _{x}C_{1}\times \ _{(36-x)}C_{2}}{_{36}C_{3}}=\frac{3}{4}$

この方程式を解いていくと（上の式の両辺に $_{36}C_{3}$ をかけたところから変形していきます）

$\begin{eqnarray*} \frac{x(x-1)}{2}\times (36-x)+x\times \frac{(36-x)(35-x)}{2}&=&\frac{3}{4}\times \frac{36\times 35\times 34}{3!}\\ x(x-1)(36-x)+x(36-x)(35-x)&=&3\times 6\times 35\times 17\\ x(36-x)(x-1+35-x)&=&2\times 17\times 9\times 35\\ 34x(36-x)&=&34\times 9\times 35\\ -x^{2}+36x&=&9\times 35\\ x^{2}-36x+9\times 35&=&0\\ x^{2}-(15+21)x+15\times 21&=&0\\ (x-15)(x-21)&=&0\end{eqnarray*}$