長岡崇徳大学の過去問【2023年一般入試】

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今回の問題

今回は長岡崇徳大学2023年の一般入試の問題です。

出題範囲は数学Ⅰ・数学Aです。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

全体的に教科書の章末問題や節末問題が解ければ対応できるくらいの難易度です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

(1)和と差の積の乗法公式を使って展開をしていきます。

$(ax-a)^{2}=a^{2}(x-1)^{2}$

であることに注意をすると

$\begin{eqnarray*} (2x-2)^{2}(x+1)^{2}&=&4(x-1)^{2}(x+1)^{2}\\ &=&4(x^{2}-1)^{2}\\ &=&4(x^{4}-2x^{2}+1)\\ &=&4x^{4}-8x^{2}+4\end{eqnarray*}$

となります。

(2)一度展開をしてから因数分解を行うのも一つの手ですが、この解き方でいくと数学Ⅱで習う因数定理が必要になります。

次のように因数分解を行うと数学Ⅰだけの知識でできます。

$\begin{eqnarray*}(x+2)^{3}-9x-18&=&(x+2)^{3}-9(x+2)\\ &=&(x+2)\{ (x+2)^{2}-9\} \\ &=&(x+2)\{ (x+2)+3\} \{ (x+2)-3\} \\ &=&(x+2)(x+5)(x-1)\end{eqnarray*}$

(3)高校で初めて出てくる分母の有理化のパターンです。次のようにしていきます。

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{2+\sqrt{6}}&=&\frac{4(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} \\ &=&\frac{4(\sqrt{6}-2)}{6-4}\\ &=&\frac{4(\sqrt{6}-2)}{2}\\ &=&2(\sqrt{6}-2)\\ &=&2\sqrt{6}-4\end{eqnarray*}$

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

(1)ド・モルガンの法則より $\bar{A}\cap \bar{B}=\overline{A\cup B}$ が成り立ちます。

したがって、集合 $U$ の中で集合 $A\cup B$ の要素に含まれていないものを書き並べれば良いということになります。よって

$\bar{A}\cap \bar{B}=\{ 8,9\}$

となります。

(2)集合 $A,\ B,\ C$ の条件から

$A\cup B\cup C=\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\}$

となります。この集合から集合 $C$ を取り除くと $A\cup B$ という集合になりますので、この集合と見比べると、 $8$ だけ無くなっていることがわかります。

したがって、 $8$ は集合 $C$ だけに属する要素です。

集合 $A\cap C$ と集合 $B\cap C$ の要素を入れると

$C=\{ 6,7,8\}$

であることがわかります。

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

両問とも頻出問題ですので、すぐに解答できるようにしておいたほうが良さそうです。

(1)で調べることは、次の２つの命題

・ $x\gt y\Longrightarrow x^{2}\gt y^{2}$

・ $x^{2}\gt \Longrightarrow x\gt y$

の真偽です。これら２つの命題は偽です。

前者は $x=-2,\ y=1$ 、後者は $x=1,\ y=-2$ がそれぞれ反例となっています。

したがって、答えは（エ）の「必要条件でも十分条件でもない」となります。

(2)で調べることは、次の２つの命題

・ $x+y\gt 0\Longrightarrow x\gt 0$ かつ $y\gt 0$

・ $x\gt 0$ かつ $y\gt 0\Longrightarrow x+y\gt 0$

の真偽です。前者の命題は $x=3,\ y=-1$ が反例となるので偽、後者は真の命題です。

したがって、答えは（イ）の「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

(1)扱う関数が２次関数ですので、まずは平方完成を行います。

$f(x)=x^{2}-2ax+4$

ですので、この右辺の式を平方完成すると

$f(x)=(x-a)^{2}-a^{2}+4$

となります。したがって、この関数の最小値は $x=a$ のとき $-a^{2}+4$ をとります。

(2)放物線の軸（頂点）と定義域の位置関係で場合分けをします。

定義域が $0\leqq x\leqq 4$ ですので、 $a\gt 2$ のとき最大値は $f(4)$ 、 $a\leqq 2$ のとき最大値は $f(0)$ となります。

ですが、 $f(0)=4$ ですので、 $a\leqq 2$ のときは条件を満たすことはありません。

$a\gt 2$ のときの条件は $f(4)=12$ ですので、この式を $a$ を用いて表すと

$-8a+20=12$

となります。これは $a$ についての方程式になりますので、この方程式を解くと $a=1$ で、これは $a\gt 2$ を満たします。

よって、この問題の答えは $a=1$ となります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

この問題で注意すべき点は「この四角形が円に内接しているとは限らない」というところです。

当然ですが、問題文に「円に内接する四角形」という記述がないので、 $\angle C=60^{\circ }$ ではありません。

(1) $\triangle ABD$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} BD^{2}&=&5^{2}+3^{2}-2\cdot 5\cdot 3\cdot \cos{120^{\circ }}\\ &=&25+9-2\cdot 5\cdot 3\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \\ &=&25+9+15\\ &=&49\end{eqnarray*}$

$BD\gt 0$ ですので $BD=7$ となります。

(2) $\triangle BCD$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} \cos{C}&=&\frac{5^{2}+4^{2}-7^{2}}{2\cdot 5\cdot 4}\\ &=&\frac{25+16-49}{40}\\ &=&\frac{-8}{40}\\ &=&-\frac{1}{5}\end{eqnarray*}$

(3)三角比の相互関係と(2)より

$\displaystyle \sin{C}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

(1)平均値の取りうる値が最小となるのは全員が階級の最小値を取るときなので

$\displaystyle \frac{1}{10}(0\times 3+10\times 4+20\times 3)=10$

最大となるのは全員が階級の最大値を取るときなので、テストの得点が自然数であることから

$\displaystyle \frac{1}{10}(9\times 3+19\times 4+29\times 3)=19$

(2)10人の平均点が $15.2$ 点であることから

$8+7+16+22+25+18+4+12+16+x=152$

が成り立ちます。この式を整理すると

$128+x=152$

となります。この方程式を解くと $x=24$

問題と問題の解説（第7問）

第7問

第7問の解説

(1) $12$ %の食塩水 $200$ gに食塩は

$\displaystyle 200\times 12\times \frac{1}{100}=24$ g

$15$ %の食塩水 $400$ gに食塩は

$400\times 15\times \frac{1}{100}=60$ g

含まれています。食塩の濃度は（数学で求める濃度は質量％濃度です）

（食塩の量） $\div$ （全体の量） $\times 100$

で求めます。食塩の量は $24+60=84$ 、全体の量は $200+400=600$ ですので

（濃度） $\displaystyle =\frac{84}{600}\times 100=14$

となります。よって、答は $14$ %です。

(2)加えた水の量を $x$ gとすると

$\displaystyle \frac{60}{400+x}\times 100=12$

が成り立ちます。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} \frac{60}{400+x}\times 100&=&12\\ 60\times 100&=&12(400+x)\\ 6000&=&12(400+x)\\ 500&=&400+x\\ x&=&100\end{eqnarray*}$

となりますので、加えた水の量は $100$ gとなります。

問題と問題の解説（第8問）

第8問

第8問の解説

(1) $A$ と $B$ が端に並ぶ並び方は

・ $A$ □ $B$

・ $B$ □ $A$

の2つのパターンが考えられます。ただし、□には $A$ と $B$ 以外の4人が並んでいます。

□の中の並び方は $4!=24$ 通りあるので、 $A$ と $B$ が端に来る並び方は

$24\times 2=48$ 通り

(2)6人の並び方の総数は $6!=720$ 通りあります。

$A$ が右端または左端に来る並び方は $5!\times 2=240$ 通り、 $B$ が右端または左端に来る並び方は同様に $240$ 通りあります。

したがって、 $A$ または $B$ が右端または左端にいる並び方の総数は $240+240-48=432$ 通りです。

求める場合の数は $A$ も $B$ も端にいない並び方の総数なので、全体から $A$ または $B$ が右端または左端にいる並び方の総数除いて

$720-432=288$ 通り

ということになります。

問題と問題の解説（第9問）

第9問

第9問の解説

(1) $b$ のマスに止まる場合は

(i)サイコロを1回振って2の目が出る。

(ii)サイコロを2回振って1の目が2回出る。

の2つの場合が考えられます。

(i)が起こる確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ 、(ii)が起こる確率は $\displaystyle \left( \frac{1}{6}\right) ^{2}=\frac{1}{36}$ です。

(i)と(ii)は同時に起こりませんので、 $b$ のマスに止まる確率は

$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{36}=\frac{7}{36}$

となります。

(2) $c$ のマスに止まる場合は

(i)サイコロを1回振って3の目が出る。

(ii)サイコロを2回振って1の目と2の目が出る。

(iii)サイコロを3回振って3回とも1の目が出る。

の3つの場合が考えられます。

(1)と同様の考え方で、(i)が起こる確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ 、(ii)が起こる確率は1と2が出る順番を考慮して $\displaystyle \frac{1}{18}$ 、(iii)が起こる確率は $\displaystyle \frac{1}{216}$ です。

(i)、(ii)、(iii)は同時には起こりませんので、 $c$ のマスに止まる確率は

$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\frac{1}{216}=\frac{49}{216}$

となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

基礎的な問題が多く、ちゃんと入試勉強をしていれば満点が狙えそうなくらいの難易度かと思います。

高3の学年になると数学Ⅰと数学Aを終えてから時間が経っていることが多いようですので、復習としてこの問題を解いてみるのも良いかもしれません。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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目次

今回の問題

問題の難易度について

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

問題と問題の解説（第7問）

第7問

第7問の解説

問題と問題の解説（第8問）

第8問

第8問の解説

問題と問題の解説（第9問）

第9問

第9問の解説

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜