yahoo!知恵袋にあった問題5【必要条件・十分条件】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

$k$ は実数の定数とする。3つの直線 $l_{1}:x+y+(4-k)=0,\ l_{2}:x-(1+k)y-1=0,\ l_{3}:(3-k)x-y+2=0$ について、 $k=0$ は $l_{1},\ l_{2},\ l_{3}$ が1点で交わるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちどれが適するか。

今回の問題について

今回はyahoo!知恵袋にあった問題からです。

自作問題でしょうか？同じページに6問ほどありましたが、かなり難易度の高い問題でした。

そのうちの1つを紹介します。

今回の問題の解説

命題「 $k=0\Longrightarrow l_{1},\ l_{2},\ l_{3}$ が1点で交わる」の真偽を調べます。

$k=0$ が仮定ですので、 $l_{1},\ l_{2},\ l_{3}$ それぞれの式に $k=0$ を代入したものを考えます。そうすると

$l_{1}:x+y+4=0$

$l_{2}:x-y-1=0$

$l_{3}:3x-y+2=0$

となります。直線 $l_{1}$ と直線 $l_{2}$ の交点を求めてみます。この交点の座標は、連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} x+y+4&=&0\\ x-y-1&=&0\end{array}\right.$

の解です。この連立方程式の解は $\displaystyle (x,y)=\left( -\frac{3}{2},-\frac{5}{2}\right)$ となりますので、これが直線 $l_{1}$ と直線 $l_{2}$ の交点の座標です。この座標の数値を $l_{3}$ の左辺の式に代入して等式が成り立てば、この3つの直線は1点で交わることがわかります。以下のように計算していきます。

$\begin{eqnarray*} 3\times \left( -\frac{3}{2}\right) -\left( -\frac{5}{2}\right)+2&=&-\frac{9}{2}+\frac{5}{2}+\frac{4}{2}\\ &=&0\end{eqnarray*}$

したがって、直線 $l_{3}$ も点 $\displaystyle \left( -\frac{3}{2},-\frac{5}{2}\right)$ を通ることがわかりましたので、3つの直線 $l_{1},\ l_{2},\ l_{3}$ は1点で交わっていることがわかります。

よって、この命題は真です。

命題「 $l_{1},\ l_{2},\ l_{3}$ が1点で交わる $\Longrightarrow k=0$ 」の真偽を調べます。

この時点では $k$ の値はわかりませんので、文字のまま扱います。言い換えると、3つの直線 $l_{1},\ l_{2},\ l_{3}$ が1点で交わるような $k$ の値を求めます。

$l_{1}:x+y+4-k=0$

$l_{2}:x-(1+k)y-1=0$

$l_{3}:(3-k)x-y+2=0$

が1点で交わることを考えれば良いのですが、まずは直線 $l_{1}$ と直線 $l_{2}$ の交点を求めてみます。これは連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} x+y+4-k&=&0\\ x-(1+k)y-1&=&0\end{array}\right.$

を解くことになります。以後、分数が出た場合は分母は全て $0$ ではないとします。この連立方程式の解は、加減法で解くことにより $\displaystyle (x,y)=\left( \frac{k^{2}-3k-3}{k+2},\frac{k-5}{k+2}\right)$ となります。直線 $l_{3}$ もこの点を通りますので、この数値を $l_{3}$ の式に代入して整理していくと

$\begin{eqnarray*} (3-k)\times \frac{k^{2}-3k-3}{k+2}-\frac{k-5}{k+2}+2&=&0\\ (3-k)(k^{2}-3k-3)-(k-5)+2(k+2)&=&0\\ -k^{3}+6k^{2}-5k&=&0\\ -k(k^{2}-6k+5)&=&0\\ -k(k-1)(k-5)&=&0\end{eqnarray*}$