マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2020年中高共通第6問】

図形と方程式教員採用試験の過去問

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・今回の問題の原文（記述式）
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2020年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第6問です。

今回の問題の原文（記述式）

座標平面上に、円 $C:x^{2}+y^{2}-4x-5=0$ および、直線 $l:y=2x+k$ があり、 $C$ と $l$ は異なる2点 $P,\ Q$ を共有する。このとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) $k$ の値の範囲を求めなさい。

(2) $C$ と $l$ の共有点 $P,\ Q$ について、 $PQ=4$ となるとき、 $k$ の値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

円と直線に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

円 $C$ と直線 $l$ が2点で交わるような $k$ の値を求める

2つの曲線の交点の個数は連立方程式の実数解の個数と一致します。今回の問題の場合は

$\left\{ \begin{array}{ccc} x^{2}+y^{2}-4x-5&=&0\\ y&=&2x+k\end{array}$

という連立方程式が2つの実数解を持つように $k$ の値を決めれば良いということになります。下式を上式に代入すると

$x^{2}+(2x+k)^{2}-4x-5=0$

という $x$ の方程式が得られます。この方程式を整理すると

$5x^{2}+(4k-4)x+k^{2}-5=0$ …①

となります。この $x$ についての2次方程式が異なる2つの実数解を持てば良いので、この方程式の判別式を $D$ とすると、 $D\gt 0$ となるような $k$ の値の範囲を求めます。

$D/4=-k^{2}-8k+29$

ですので、 $D/4\gt 0$ という2次不等式を解くと $-4-3\sqrt{5}\lt k\lt -4+3\sqrt{5}$ となります。

$PQ=4$ となる $k$ の値を求める

先程の方程式①の実数解を $\alpha ,\ \beta (\alpha \lt \beta )$ とすると

$\displaystyle \beta -\alpha =\frac{2}{5}\sqrt{-k^{2}-8k+29}$

となります。 $y=2x+k$ より、 $x=\alpha$ に対応する点を $P$ 、 $x=\beta$ に対応する点を $Q$ とすると、これら2点の座標は $P(\alpha ,2\alpha +k),\ Q(\beta ,2\beta +k)$ となります。根号を外すために $PQ^{2}$ を考えると2点間の距離の公式から

$\begin{eqnarray*} (\beta -\alpha )^{2}+(\2\beta +k-2\alpha -k)^{2}&=&5(\beta -\alpha )^{2}\\ &=&5\times \frac{4}{25}(-k^{2}-8k+29)\\ &=&\frac{4}{5}(-k^{2}-8k+29)$

となります。条件 $PQ=4$ より $PQ^{2}=16$ となりますので、次の方程式が立てられます。

$\displaystyle \frac{4}{5}(-k^{2}-8k+29)=16$

この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{5}(-k^{2}-8k+29)&=&16\\ -k^{2}-8k+29&=&20\\ k^{2}+8k-9&=&0\\ (k+9)(k-1)&=&0\end{eqnarray*}$

したがって $k=-9$ または $k=1$ が求める $k$ の値になります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

基礎がしっかりしていれば解く方針が立てやすい問題でした。

図形の問題は図に描くと更にわかりやすいとおもいます。

教員採用試験や大学入試の問題は複数単元にまたがった知識が必要な問題が多いので、それに対応できるような対策が必要そうですね。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

Twitterで更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper