首都大学東京の問題【2019年前期日程第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は首都大学東京2019年・東京都立大学2020年の問題です。

今回は2019年文系学部前期日程第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2つの曲線で囲まれつ部分の面積の最大値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

曲線 $C_{1}:y=(x-a)^{2}-a$ と曲線 $C_{2}:y=-x^{2}$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$(x-a)^{2}-a=-x^{2}$

の実数解で与えられます。この式を整理すると

$2x^{2}-2ax+a^{2}-a=0$

となります。曲線 $C_{1}$ と曲線 $C_{2}$ の交点が2つのとき、この方程式の実数解が2つあるときですので、この方程式の判別式を $D$ とすると

$D=-a^{2}+2a$

となります。 $D\gt 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めて $0\lt a\lt 2$ となります。

なお、方程式の解は $\displaystyle x=\frac{a\pm \sqrt{-a^{2}+2a}}{2}$ となりますが、これが $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の $x$ 座標になります。

曲線 $C_{1}$ と曲線 $C_{2}$ で囲まれる部分の面積を $S(a)$ とすると、 $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式により

$\displaystyle S(a)=\frac{1}{3}(-a^{2}+2a)^{\frac{3}{2}}$

となりますので、あとは $-a^{2}+2a$ の最大値を求めれば良いということになります。

$-a^{2}+2a$ は2次式ですので、平方完成すると $-(a-1)^{2}+1$ となります。

このことから、 $S(a)$ は $a=1$ のとき最大値 $\displaystyle \frac{1}{3}$ をとることがわかります。

問題の都合上、実際に出題された(1)と(3)の問題の部分をマーク式にしました。(2)の問題は以下のようになっています。

$\alpha$ と $\beta$ は実数とする。次の等式が成り立つことを示しなさい。

$\displaystyle \int_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{1}{6}(\beta -\alpha )^{3}$

これが先ほど述べた $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式です。一番簡単な証明は積分計算するだけです。

$\displaystyle \int_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx$

$\displaystyle =\int_{\alpha }^{\beta }\{ x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \} dx$

$\displaystyle =\left[ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}(\alpha +\beta )x^{2}+\alpha \beta x\right] _{\alpha }^{\beta }$

$\displaystyle =\frac{1}{3}(\beta ^{3}-\alpha ^{3})-\frac{1}{2}(\alpha +\beta )(\beta ^{2}-\alpha ^{2})+\alpha \beta (\beta -\alpha )$

$\displaystyle =\frac{1}{3}(\beta -\alpha )(\beta ^{2}+\alpha \beta +\alpha ^{2})-\frac{1}{2}(\alpha +\beta )(\beta -\alpha )(\beta +\alpha )+\alpha \beta (\beta -\alpha )$

$\displaystyle =\frac{1}{6}(\beta -\alpha )(2\beta ^{2}+2\alpha \beta +2\alpha ^{2}-3\alpha ^{2}-6\alpha \beta -3\beta ^{2}+6\alpha \beta )$

$\displaystyle =\frac{1}{6}(\beta -\alpha )(-\beta ^{2}+2\alpha \beta -\alpha ^{2})$

$\displaystyle =-\frac{1}{6}(\beta -\alpha )(\beta -\alpha )^{2}$

$\displaystyle =-\frac{1}{6}(\beta -\alpha )^{3}$

いかがだったでしょうか？

今回は基礎が詰まった問題と言っても良いかもしれません。

実数解の個数の判別や曲線で囲まれる部分の面積を求める練習には良い問題かと思います。

今回のように公式の証明が出題されることもありますので、そこのチェックも怠らないようにしておきたいですね。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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