マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2011年前期日程第1問】

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今週は首都大学東京2011年・2012年の問題です。

今回は2011年文系学部前期日程の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2つの放物線の荒天の中点の軌跡と面積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

曲線 C_{1}:y=1-x^{2}と曲線 y=x^{2}-2kx+k^{2}の交点の個数は、 x2次方程式

 1-x^{2}=x^{2}-kx+k^{2}…①

の実数解の個数と一致します。

この2次方程式を整理して 2x^{2}-2kx+k^{2}=0となりますが、この2次方程式の判別式を Dとすると

 D/4=-k^{2}+2

となります。求める条件は D\gt 0ですので、この不等式を解くと -\sqrt{2}\lt k\lt \sqrt{2}となります。

 x2次方程式①を解くと \displaystyle x=\frac{k\pm \sqrt{-k^{2}+2}}{2}ですので、曲線 C_{1}と曲線 C_{2}の交点の座標は \displaystyle \left( \frac{k\pm \sqrt{-k^{2}+2}}{2},\frac{1\mp k\sqrt{-k^{2}+2}}{2}\right)(複合同順)となります。

よって、2つの曲線の交点の中点は \displaystyle \left( \frac{k}{2},\frac{1}{2}\right)となりますので、この中点の軌跡は直線 \displaystyle y=\frac{1}{2} -\sqrt{2}\lt x\lt \sqrt{2}の部分になります。

この軌跡と曲線 C_{1}で囲まれる部分の面積は

 \displaystyle \int^{\frac{\sqrt{2}}{2}}_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}(\frac{1}{2}-x^{2})dx=\frac{\sqrt{2}}{3}

となります。

いかがだったでしょうか?

方程式の理論、軌跡、積分がミックスされた問題でした。

複数の単元が混ざっていますが、解く問題自体は基礎問題ばかりです。

どこでどんな基礎問題と同じ解き方をすれば良いかを考えてみる練習をしてみると良いかもしれませんね。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

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