マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2018年前期日程第4問】

図形と計量・図形の性質中学生でも解ける大学入試問題入試問題

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今週は首都大学東京2017年・2018年の問題です。

今回は2018年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

正四面体に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

おそらく、ベクトルを使うか三角比を使うかして解くのかと思いますがほぼ中学の知識で解けますので、その方法で解説します。

図形の問題は図に描くと解く方針が見えてきます。図に描くと以下のようになります。

上の正四面体の面がすべて正三角形であることに注意します。

点 $M$ は辺 $AB$ の中点ですので、三平方の定理より

$\displaystyle OM^{2}=OA^{2}-AM^{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

したがって $\displaystyle OM=\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

点 $N$ は辺 $AC$ の中点ですので、先ほどと同じ理由で $\displaystyle ON=\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

中点連結定理より $\displaystyle MN=\frac{1}{2}$ であることと、 $\triangle OMN$ が $OM=ON$ の二等辺三角形であることから、点 $O$ から辺 $MN$ に下ろした垂線の長さは三平方の定理を用いると $\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{4}$ であることがわかります。

よって、 $\triangle OMN$ の面積は

$\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{11}}{4}=\frac{\sqrt{11}}{16}$

となります。

点 $O$ から $\triangle ABC$ に垂線を下ろし、その交点を $H$ とすると、 $\triangle ABC$ を下にして四面体 $OABC$ を真上から見ると点 $O$ は線分 $BC$ の垂直二等分線にきますので、点 $H$ は辺 $BC$ の垂直二等分線上にあります。

辺 $BC$ の中点を $L$ とすると $\displaystyle AL=OL=\frac{\sqrt{3}}{2},\ OA=1$ です。

$OH=x$ とおくと、 $\triangle OAH$ は $\angle AHO=90^{\circ }$ の直角三角形、 $\triangle OLH$ は $\angle LHO=90^{\circ }$ の直角三角形ですので、三平方の定理で $OH$ を2通りで表して方程式を作ると

$1-x^{2}=\sqrt{3}x-x^{2}$

となります。この方程式を解くと $\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ですので $\displaystyle OH=\frac{\sqrt{6}}{3}$ となります。

$\triangle AMN$ の面積は、 $\triangle ABC$ と $\triangle AMN$ が相似な図形で相似比が $2:1$ ですので、面積比が $4:1$ であることから

$\displaystyle \triangle AMN=\frac{1}{4}\triangle ABC=\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\times 1\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{16}$

したがって、四面体 $OAMN$ の体積は $\displaystyle \frac{1}{3}\times \triangle AMN\times OH=\frac{\sqrt{2}}{48}$ となります。

四面体 $OAMN$ の底面を $\triangle OMN$ とみると、点 $A$ から $\triangle OMN$ に下した垂線と $\triangle OMN$ の交点が $P$ ですので

$\displaystyle 四面体OAMNの体積=\frac{1}{3}\times \triangle OMN\times AP$

が成り立ちます。求めたものをすべて代入すると

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{48}=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{11}}{16}\times AP$

となります。この方程式から $AP$ の値を求めると $\displaystyle AP=\frac{\sqrt{22}}{11}$ となります。

いかがだったでしょうか？

空間図形の問題は高校で習った三角比に関する定理、図形に性質による定理やベクトルを使うと楽に解けるかと思います。

ですが、中には今回のようにほとんど中学で習うような知識で解けるような問題も存在するようです。

出題意図とずれているのかもしれませんが、このような解き方が別の大学の入試問題で見つかったら紹介していこうと思います。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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