マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

島根県教員採用試験の問題ver.20220715

図形と計量・図形の性質中学生でも解ける教員採用試験の問題教員採用試験の過去問

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今週は島根県教員採用試験の問題です。

今回は令和3年実施の島根県教員採用試験の中学校・特別支援学校受験者用の第5問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

高校入試で出そうな図形の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1) $\triangle ADF$ と $\triangle CEF$ は相似な図形で、その相似比は $8:5$ になります。

したがって、 $DF:EF=8:5$ で、 $DF$ の長さは $DE$ を13等分したうちの8つ分の長さになります。

よって、 $DF$ の長さは $DE$ の長さが求められれば求めることができます。

$\triangle CDE$ は $\angle ECD=90^{\circ }$ の直角三角形なので、三平方の定理より $DE=13$ となりますから $DF=8$ となります。

(2) $\triangle ADF$ に注目すると、(1)より $DF=AD=8$ の二等辺三角形になっています。

したがって、 $\angle EDA$ の二等分線は線分 $AF$ を垂直に二等分します。

このことから、 $\triangle ADG$ は $\angle AGD=90^{\circ }$ の直角三角形ですので、この三角形の面積を求めるには $AG$ の長さと $DG$ の長さが分かれば良いということになります。

三平方の定理より $AC=4\sqrt{13}$ 、(1)より $AF:FC=8:5$ ですので、 $\displaystyle AF=\frac{32\sqrt{13}}{13}$ となります。

$AG$ の長さはこの半分ですので $\displaystyle AG=\frac{16\sqrt{13}}{13}$ となります。

あとは $DG$ の長さを求めれば良いですが、 $\triangle ADG$ は直角三角形ですので三平方の定理より $\displaystyle DG=\frac{24\sqrt{13}}{13}$ と求めることができます。

よって、 $\triangle AGD$ の面積は次のように求められます。

$\displaystyle \triangle AGD=\frac{1}{2}\times AG\times DG$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\times \frac{16\sqrt{13}}{13}\times \frac{24\sqrt{13}}{13}$

$\displaystyle =\frac{192}{13}$

(3)点 $G$ から辺 $AD$ に下した垂線の長さを $h$ とすると、 $\triangle ADG$ の面積は先ほど求めましたので、それを使って $h$ の値を求めます。

$\triangle ADG$ の底辺を $AD$ 、高さを $h$ とみて面積を求めると

$\displaystyle \frac{1}{2}\times 8\times h=\frac{192}{13}$

となりますので、 $\displaystyle h=\frac{48}{13}$ となります。

$\triangle ADG$ を1回転してできる立体は、点 $G$ から辺 $AD$ に下した垂線を境目に上と下に円錐ができますが、この立体の体積は底面の円の半径が $h$ 、高さが8の円錐の体積に等しくなります。

したがって $\displaystyle V_{1}=\frac{1}{3}\times \left( \frac{48}{13}\right) ^{2}\pi \times 8$ になります。

次に $V_{2}$ を求めますが、そのためには点 $G$ から辺 $CI$ に下した垂線の長さと $CI$ の長さを求めなければなりません。

点 $G$ から辺 $CI$ に下した垂線の長さを $h^{\prime }$ とおくと、 $\displaystyle h^{\prime }=12-h=\frac{108}{13}$ となります。

また、 $\triangle ADG$ ∽ $\triangle CIG$ で、相似比は $AG:CG=4:9$ ですので、 $CI=18$ となります。

よって、 $\displaystyle V_{2}=\frac{1}{3}\times \left( \frac{108}{13}\right) ^{2} \pi \times 18$ となります。

ここまでが準備です。体積比 $V_{1}:V_{2}$ を求めると

$\displaystyle V_{1}:V_{2}=\frac{1}{3}\times \left( \frac{48}{13}\right) ^{2}\pi \times 8:\frac{1}{3}\times \left( \frac{108}{13}\right) ^{2}\pi \times 18$

$\displaystyle =48^{2}\times 8:108^{2}\times 18$

$\displaystyle =4^{2}\times 4:9^{2}\times 9$

$\displaystyle =64:729$

いかがだったでしょうか？

この問題はさすがに中学生でも解けるはずです。

難易度的には高校入試くらいですが、高校で初めて習うような事柄は使っていません。

ただ、この問題は教員採用試験で出題された問題です。もしかしたら他に7考慮しないといけない部分があるかもしれません。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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