マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

島根県教員採用試験の問題ver.20220716

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今週は島根県教員採用試験の問題です。

今回は令和3年実施の島根県教員採用試験の高等学校受験者用の第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

一部数学Ⅲの内容を含みます。数列の極限を求める標準的な問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

数列の関係式から順番に求めることがまず初めに思い浮かぶことかと思います。

 S_{1}=a_{1}であることに注意すると S_{1}=1ですので、関係式から \displaystyle S_{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=\frac{19}{12}

したがって \displaystyle a_{1}+a_{2}=\frac{19}{12}ですので \displaystyle a_{2}=\frac{7}{12}となります。

関係式を使って S_{n+1}-S_{n}を計算すると

 \displaystyle S_{n+1}-S_{n}=\frac{1}{3}(S_{n}-S_{n-1})+\left( \frac{1}{2}\right) ^{n+1}

 S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1} S_{n}-S_{n-1}=a_{n}であることに注意すると

 \displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{3}a_{n}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{n+1}という関係式が導かれます。

この関係式の両辺に 3^{n+1}をかけると

 \displaystyle 3^{n+1}a_{n+1}=3^{n}a_{n}+\left( \frac{3}{2}\right) ^{n+1}

という関係式になりますが、見通しをよくするために b_{n}=3^{n}a_{n}とおくと b_{1}=3

 \displaystyle b_{n+1}=b_{n}+\left( \frac{3}{2}\right) ^{n+1}

という関係式があります。この関係式を変形すると

 \displaystyle b_{n+1}-b_{n}=\left( \frac{3}{2}\right) ^{n+1}

となりますが、これは数列 \{ b_{n}\}の階差数列が \displaystyle \left( \frac{3}{2}\right) ^{n+1}であることを意味しています。

したがって、数列 \{ b_{n}\}の一般項は

 \displaystyle b_{n}=3\cdot \left( \frac{3}{2}\right) ^{n}-\frac{3}{2}

と求めることができます。

求めるものは数列 \{ a_{n}\}の一般項ですので、置き換えたものを元に戻して適切な変形を行うと

 \displaystyle a_{n}=3\cdot \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}-\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{3}\right) ^{n}

となります。

最後の極限の値については、まず等比数列の和の公式を使って \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}を求めます。

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=3\cdot \left\{ 1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\right\} -\frac{3}{4} \left\{ 1-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}\right\}

となりますので、 n\to \infty のときの極限をとって \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}=\frac{9}{4}となります。

いかがだったでしょうか?

大学入試で出てきそうな頻出問題のような感じがします。

途中の数列 \{ a_{n}\}の漸化式の変形が誘導が無いので難しいかもしれません。

漸化式のパターンに慣れれば変形はできるでしょうが、そのくらいは勉強しろというメッセージでしょうか。

 

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